1、专题五 函数与导数 第13讲 函数的图象与性质,第13讲 函数的图象与性质 1.若函数f(x+1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于 对称.,答案 直线x=1,解析 因为函数f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),则y=f(x)的图象关于直线 x=1对称.,2.已知f(x)为定义在2-a,3上的偶函数,在0,3上单调递减,并且f f(-m2+2m-2),则m的取值范围是 .,答案,解析 由题意可得2-a=-3,a=5,则f(-m2-1)=f(m2+1)f(-m2+2m-2)=f(m2-2m+2),所 以m2+1m2-2m+23,解得1- m .,3.已知a0且a1,设函数f
2、(x)= 的最大值为1,则a的取值范为 .,答案,解析 若a1,则函数f(x)不存在最大值,若0a1,2+loga31,则loga3-1=loga ,解得a ,故a的取值范围是 a1.,4.已知函数f(x)= 若存在实数a,b,c满足abc且f(a)=f(b)=f(c),则 (ab+1)c的取值范围是 .,答案 (16,64),解析 画出函数f(x)的图象,由图象可知,0a1b4c6,且-log4a=log4b,得ab =1,则(ab+1)c=2c(16,64).,5.若f(x)=ex+ae-x为偶函数,则f(x-1) 的解集为 .,答案 (0,2),解析 因为f(x)=ex+ae-x为偶函数
3、,所以f(-x)=e-x+aex=ex+ae-x=f(x),整理得(a-1)(ex-e-x)=0,则a=1,所以f(x)=ex+e-x, f(x-1) 即为eex-1+e-(x-1)e2+1,整理得e2x-ex+2-ex+e20,即为(ex-e2)(ex-1)0,解得1exe2,则0x2.,6.已知函数y= 与函数y= 的图象共有k(kN*)个公共点:A1(x1,y1),A2(x2,y 2),Ak(xk,yk),则 (xi+yi)= .,答案 2,解析 函数y= 满足f(x)+f(-x)=2,则该函数图象关于点(0,1)对称,且在R上 单调递增,并且y(0,2). 又函数y= 的图象也关于点(
4、0,1)对称,且在(0,+)和(-,0)上单调递减, 所以两个函数图象共有2个公共点,A1(x1,y1),A2(x2,y2),且这两个交点关于(0,1)对 称,所以 (xi+yi)=x1+x2+y1+y2=2.,题型一 函数的性质,例1 (1)(2018江苏)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR),且在区间(-2,2上, f(x)= 则f(f(15)的值为 . (2)(2018徐州高三考前模拟)若函数f(x)= 为奇函数,则实数a的值为 .,答案 (1) (2)-1,解析 (1)因为函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR), 则函数的最小正周期是4,且在区间(-2,2上, f(x
5、)= 则f(f(15)=f(f(-1)=f =cos = . (2)函数f(x)= 为定义在x 上的奇函数,则f(-1)=-f(1),即 =- ,解得a=-1.,【方法归纳】 若f(x+a)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x= 对称;若f(x+a)+f (b-x)=c,则f(x)的图象关于点 对称;若f(x+T)=f(x),则f(x)是周期为T的周 期函数.,1-1 (2018南京高三第三次模拟)若f(x)是定义在R上的周期为3的函数,且f(x)= 则f(a+1)的值为 .,答案 2,解析 由 f(x)是定义在R上的周期为3的函数,得f(0)=f(3),解得a=0,则f(a+1)=f(
6、1)=2.,题型二 函数的图象,例2 (2018扬州高三第三次调研)已知函数f(x)= 的图象恰 好经过三个象限,则实数a的取值范围是 .,答案 (-,0)(2,+),解析 因为f(0)=-1,x+时, f(x)+,所以函数过第一、三象限,若a0时,f(x)0,此时函数图象恰好经过第一、 二、三3个象限;若a0,x0的函数图象只在第三象限,所以x0时,函数图象 必须经过第四象限,即f(x)0时有解,即a ,当00,函数递增;当x2时,y =x2- +1递增,所以x=1时, =2,则a2,综上可得,实数a的取值范围 是a2.,【方法归纳】 (1)函数图象形象地展示了函数的性质(如单调性、奇偶性、
7、 最值等),为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,因此常用函数的图象 研究函数的性质,同时也会借用函数性质去研究函数图象的有关问题,二者相 辅相成. (2)关于函数图象的问题,一般要利用图象变换、等价转化等数学方法和思想 进行转化,如图象上存在关于原点对称的点,即将x0的图象有交点,进而转化为方程有解问题,再结合分离参数 法转化为函数的值域问题.,2-1 (2018江苏南通中学高三考前冲刺)若函数f(x)= 的图象上 存在关于原点对称的点,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 f(x)=x2+ -4,x0的图象与f (x)=2x,x0的图象有交点,即方程-x2+ +4=2x,a=x3+2x2
8、-4x,x0有解,令g(x)=x3+2 x2-4x,x0,则g(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2),x ,g(x)0,g(x)单调递增,则g(x)min=g =- ,故a- .,题型三 函数的图象和性质的综合应用,例3 (2018苏锡常镇四市高三调研)已知函数f(x)= 若存在实 数abc,满足f(a)=f(b)=f(c),则af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值是 .,答案 2e2-12,解析 作出函数f(x)的图象如图,当f(a)=f(b)=f(c),a0,所 以c0( ,e2),使得g(c0)=0,且c( ,c0),g (c)0,g (c)单调递增,且g( )= ( -6
9、)0,则g(c)的最大值即为 af(a)+bf(b)+cf(c)的最大值,即2e2-12.,【方法归纳】 (1)利用函数图象的对称性对目标函数化简、变形,尤其是目 标函数中有多个变量时要结合图形减少变量个数. (2)求解目标函数的最值,首先要建立合适的目标函数,再利用目标函数的特 征选择工具(如导数、基本不等式等)求解最值.,3-1 (2018苏州第一学期期中)已知函数f(x)= 若直线y=ax与y=f(x) 的图象交于三个不同的点A(m,f(m),B(n, f(n),C(t, f(t)(其中mnt),则n+ +2 的取值范围是 .,答案,解析 作出函数f(x)的图象如图, 设直线y=ax与y=ln x相切于(x0,ln x0), 则曲线在切点处的切线方程为y-ln x0= (x-x0), 把原点坐标代入得x0=e,要使直线y=ax与y=f(x)的图象交于三个不同的点, 则n(1,e),联立y= x,y=2x+1 解得x= , 则m , ,故n+ +2 .,
