1、1第 2 讲 小题考法基本初等函数、函数与方程一、主干知识要记牢1指数函数与对数函数的对比表解析式 y ax(a0 与 a1) ylog ax(a0 与 a1)图象定义域 R (0，)值域 (0，) R单调性0 a1 时，在 R 上是减函数；a1 时，在 R 上是增函数0 a1 时，在(0，)上是减函数；a1 时，在(0，)上是增函数两图象的对称性关于直线 y x 对称2方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数 y f(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是函数 y f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标所以方程 f(x)0 有实数根函数 y f(
2、x)的图象与 x 轴有交点 函数 y f(x)有零点(2)函数零点的存在性定理如果函数 y f(x)在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)0， a1)的单调性时忽视字母 a 的取值范围，忽视 ax0；研究对数函数 ylog ax(a0， a1)时忽视真数与底数的限制条件2易混淆函数的零点和函数图象与 x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化23函数 f(x) ax2 bx c 有且只有一个零点，要注意讨论 a 是否为零考点一 基本初等函数的图象与性质3 招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单
3、调性进行比较(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小1(2018南充三模)在同一坐标系中，函数 y2 x与 ylog 2x 的图象都正确的是( A )A BC D解析 因为 y2 x x，所以函数单调递减，排除 B，D y x与 ylog 2x(12) (12)x 的图象关于 y x 轴对称排除 C 故选 Alog 122已知函数 f(x)3 x x，则 f(x)( A )(13)A是奇函数，且在 R 上是增函数 B是偶函数，且在 R 上是增函数C是奇函数，且在 R 上是减函数 D是偶函数，
4、且在 R 上是减函数解析 因为 f(x)3 x x，且定义域为 R，所以 f( x)(13)33 x x x3 x3 x x f(x)，即函数 f(x)是奇函数又 y3 x在 R 上是增(13) (13) (13)函数， y x在 R 上是减函数，所以 f(x)3 x x在 R 上是增函数(13) (13)3(2017全国卷)设 x， y， z 为正数，且 2x3 y5 z，则( D )A2 x1则 xlog 2t ，同理， y ， z lg tlg 2 lg tlg 3 lg tlg 52 x3 y 0，2 x3y2lg tlg 2 3lg tlg 3 lg t 2lg 3 3lg 2lg
5、2lg 3 lg t lg 9 lg 8lg 2lg 3又2 x5 z 2lg tlg 2 5lg tlg 5 lg t 2lg 5 5lg 2lg 2lg 5 0，lg t lg 25 lg 32lg 2lg 52 x5z，3 y2x5z.故选 D考点二 函数的零点1判断函数零点个数的方法直接法 直接求零点，令 f(x)0，则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理，利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2利用函数零点的情况
6、求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解1(2018安阳模拟)已知函数 f(x)Error!则函数 g(x)2 |x|f(x)2 的零点个数为( B )4A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析 画出函数 f(x)Error!的图象如图，由 g(x)2 |x|f(x)20 可得 f(x) ，则问题化为函数 f(x)Error!与函数 y22|x|2 1| x|的图象的交点的个数问题结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，应22|x|选答案 B2函数 f(
7、x)e x x2 的零点所在的一个区间是( C )A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)解析 方法一 f(0)e 00210， f(1)e 112e10， f(0)f(1)0，故函数 f(x)e x x2 的零点所在的一个区间是(0,1)，选 C方法二 函数 f(x)e x x2 的零点，即函数 ye x的图象与 y x2 的图象的交点的横坐标，作出函数 ye x与直线 y x2 的图象如图所示，由图可知选 C3(2018湖北联考)奇函数 f(x)是 R 上单调函数， g(x) f(ax3) f(13 x)有唯一零点，则 a 的取值集合为 a|a0 或 a4解析 函数 g(x) f(ax3) f(13 x)有且只有一个零点，即方程 f(ax3) f(13 x)0 有且只有一个根或两相等实数根，函数 f(x)是奇函数，即 f(ax3) f(13 x)有且只有一个根或两相等实数根，又 f(x)是 R 上的单调函数，方程 ax313 x，即 a 有且只有一个根或两相等实数根，作出 y 的图象：1x3 3x2 1x3 3x25由图易得 a 的取值集合 a|a0 或 a4
