1、3.2 导数与函数的单调性、 极值、最值,(2)可导函数f(x)在区间a,b上单调递增,则有 在区间a,b上恒成立. (3)可导函数f(x)在区间a,b上单调递减,则有 在区间a,b上恒成立. (4)若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调,则y=f(x)在该区间内 .,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,1.函数的单调性与导数的关系 (1)已知函数f(x)在某个区间内可导, 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; 如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内 ; 若f(x)=0,则f(x)在这个区间内是 .,单调递增,单调递减,常数函数,f(x)0,f(x)0,不变号,
2、-3-,知识梳理,双基自测,2,3,1,2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续且f(x0)=0, 如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 确定函数的定义域,并求f(x); 求方程 的根;,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)=0,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,1,检查方程 的根是否在定义域内,若在,则看根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得 ;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得 .
3、,f(x)=0,极大值,极小值,3.函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在区间a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在区间a,b上单调递增,则 为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在区间a,b上单调递减,则为函数的最大值, 为函数的最小值. (3)设函数f(x)在区间a,b上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤. 求f(x)在区间(a,b)内的 ; 将f(x)的各极值与 进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,-5-,知识梳理,双基自测,2,3,1,f(a),f(b),f(a),f(b),极值,f(a
4、),f(b),2,-6-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,则一定有f(x)0. ( ) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. ( ) (3)导数为零的点不一定是极值点. ( ) (4)函数的极大值不一定比极小值大. ( ) (5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. ( ),答案,6,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,6,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,6,3.函数f(x)=x3-3x2+2在区间-1,1上的最大值是( ) A.
5、-2 B.0 C.2 D.4,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,6,4.函数f(x)=x2-2ln x的单调减区间是( ) A.(0,1) B.(1,+) C.(-,1) D.(-1,1),答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,6,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,6.(教材习题改编P32T4)如图是f(x)的导函数f(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为 .,答案,解析,6,-12-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,6,自测点评 1.若函数f(x)在区间(a,b)内递增,则f(x)0;“f(x)0在(a
6、,b)内恒成立”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充分不必要条件. 2.对于可导函数f(x),“f(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是函数y=x3的极值点. 3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.,-13-,考点1,考点2,考点3,考向一 讨论函数的单调性或求单调区间 例1(2018四川广安调研)已知函数f(x)=x-aln x,g(x)=- (aR). (1
7、)若a=1,求函数f(x)的极值; (2)设函数h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的单调区间. 思考如何利用导数的方法讨论函数的单调性或求单调区间?,-14-,考点1,考点2,考点3,解:(1)f(x)的定义域为(0,+),所以f(x)在x=1处取得极小值1,函数没有极大值.,当a+10,即a-1时,在(0,1+a)上h(x)0, 所以h(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+)上单调递增; 当1+a0,即a-1时,在(0,+)上h(x)0, 所以函数h(x)在(0,+)上单调递增.,-15-,考点1,考点2,考点3,考向二 已知函数单调性求参数的取值范围 例2已知函数f(x
8、)=x3-ax-1. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围. 思考已知函数单调性求参数的一般思路是什么?,-16-,考点1,考点2,考点3,解:(1)f(x)=3x2-a. 当a0时,f(x)0,即f(x)在(-,+)内为增函数.,-17-,考点1,考点2,考点3,(2)因为f(x)在(-,+)内是增函数, 所以f(x)=3x2-a0在(-,+)内恒成立, 即a3x2对xR恒成立. 因为3x20,所以只需a0, 即实数a的取值范围为(-,0.,-18-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.利用导数讨论函数单调性或求单调区间的方法 (1)方法一:确定函
9、数y=f(x)的定义域; 求导数y=f(x); 解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; 解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.,-19-,考点1,考点2,考点3,(2)方法二:确定函数y=f(x)的定义域; 求导数y=f(x),令f(x)=0,解此方程,求出在定义域内的一切实根; 把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间; 确定f(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. 要特别注意的是,涉及含参数的单调性或单调区间的问题,一定
10、要弄清参数对导数f(x)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.,-20-,考点1,考点2,考点3,2.由函数的单调性求参数的取值范围的解题方法 (1)可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题,可转化为f(x)0(或f(x)0)对xD恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意“=”是否取到. (2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题. (3)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取
11、值范围.,-21-,考点1,考点2,考点3,若a=1,求函数f(x)的单调区间; 若函数f(x)在区间1,2上为单调函数,求a的取值范围.,对点训练1(1)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. 讨论f(x)的单调性; 若f(x)0,求a的取值范围.,-22-,考点1,考点2,考点3,解:(1)函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). 若a=0,则f(x)=e2x,在(-,+)单调递增. 若a0,则由f(x)=0得x=ln a. 当x(-,ln a)时,f(x)0.故f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.,
12、-23-,考点1,考点2,考点3,若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0. 若a0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a. 从而当且仅当-a2ln a0,即a1时,f(x)0.,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,例3已知函数f(x)=x-aln x(aR). (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值. 思考函数的导数与函数的极值有怎样的关系?,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,
13、从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.,-29-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)=0,且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同. 2.若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,则函数y=f(x)在(a,b)内不是单调函数,即若函数y=f(x)在某区间上是单调函数,则函数y=f(x)在此区间上一定没有极值. 3.利用导数研究函数极值的一般流程:,-30-,考点1,考点2,考点3,(1
14、)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值.,-31-,考点1,考点2,考点3,令f(x)=0,解得x=-1或x=5. 由x=-1不在f(x)的定义域(0,+)内,故舍去. 当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,+)内为增函数. 由此可知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5; 函数f(x)没有极大值.,-32-,考点1,考点2,考点3,例4已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;,思考求函数的最值可划分为哪几步?,-33-,考点1,考点2,考点3,解:(1)因为f(x)=excos x-x,所以f(x)=
15、ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.,-34-,考点1,考点2,考点3,解题心得求函数f(x)在a,b上的最值的方法 (1)若函数在区间a,b上单调递增或递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值; (2)若函数在闭区间a,b内有极值,要先求出a,b上的极值,与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成; (3)函数f(x)
16、在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.,-35-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2018山西运城高三模拟)已知函数,(1)求函数f(x)的最大值; (2)当a 时,函数y=g(x)(x(0,e)有最小值,记g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.,当x(0,e)时,f(x)0,f(x)单调递增; 当x(e,+)时,f(x)0,f(x)单调递减.,-36-,考点1,考点2,考点3,所以存在t1,e),g(t)=0且ln t=at, 当x(0,t)时,g(x)0,g(x)单调递增, 所以g(x)的最小值,-37-,考
17、点1,考点2,考点3,-38-,考点1,考点2,考点3,1.函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,f(x)在区间(a,b)内的任意子区间内都不恒等于零,则f(x)0f(x)在区间(a,b)内为增函数;f(x)0f(x)在区间(a,b)内为减函数. 2.求可导函数极值的步骤: (1)求定义域及f(x); (2)求f(x)=0的根; (3)判定定义域内的根两侧导数的符号; (4)下结论. 3.求函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值,然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).,-39-,考点1,考点2,考点3,1.注意定义域优先的原则,
18、求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行. 2.一个函数在其定义域内的最值是唯一的,可以在区间的端点处取得. 3.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性求参数的问题,处理好当f(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.,-40-,高频小考点用导数的方法求参数的取值范围 典例1若函数f(x)=x- sin 2x+asin x在区间(-,+)内单调递增,则a的取值范围是( ),-41-,-42-,-43-,典例2已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)0,求a的取值范围. 解:(1)函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a). 若a=0,则f(x)=e2x,在区间(-,+)内单调递增. 若a0,则由f(x)=0得x=ln a. 当x(-,ln a)时,f(x)0. 故f(x)在区间(-,ln a)内单调递减,在区间(ln a,+)内单调递增.,-44-,-45-,(2)若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0. 若a0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a. 从而当且仅当-a2ln a0,即a1时,f(x)0.,反思提升解题的关键在于寻找能满足限制条件的含参不等式,寻找的方法就是等价转换.,
