1、3.3 导数的综合应用,-2-,考点1,考点2,考点3,例1设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR. (1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间; (2)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围. 思考如何求与函数极值有关的参数范围?,-3-,考点1,考点2,考点3,-4-,考点1,考点2,考点3,-5-,考点1,考点2,考点3,-6-,考点1,考点2,考点3,解题心得依据题意,对参数分类,分类后相当于增加了一个已知条件,在增加了条件的情况下,对参数的各个范围逐个验证是否符合题意,符合题意的范围即为所求范围.,-7-,考点1,考点2,考点3,对点训练1设函数f(
2、x)=x2-2x+mln x+1,其中m为常数.(2)若函数f(x)有唯一极值点,求实数m的取值范围.,-8-,考点1,考点2,考点3,-9-,考点1,考点2,考点3,-10-,考点1,考点2,考点3,综上,当m0时,函数f(x)有唯一极值点,即f(x)有唯一极值点,故实数m的取值范围为(-,0.,-11-,考点1,考点2,考点3,例2已知函数f(x)=-x3+x2,g(x)=aln x(a0,aR). (1)求f(x)的极值; (2)若对任意x1,+),使得f(x)+g(x)-x3+(a+2)x恒成立,求实数a的取值范围;,-12-,考点1,考点2,考点3,(1)解:f(x)=-x3+x2,
3、f(x)=-3x2+2x.,-13-,考点1,考点2,考点3,(2)解:f(x)+g(x)-x3+(a+2)x, a(ln x-x)2x-x2.,可得h(x)在(1,2)内单调递减,在(2,+)内单调递增, 即有h(x)的最小值为h(2)=4-2ln 20,即(x)0, 即有(x)在1,+)内是增函数,(x)min=(1)=-1,可得a-1.,-14-,考点1,考点2,考点3,(3)证明:由(2)知,当a-1时,aln x-(a+2)x+x20对x1恒成立,令a=-1,则ln xx2-x(当且仅当x=1时等号成立),-15-,考点1,考点2,考点3,解题心得利用导数解决不等式恒成立问题,首先要
4、构造函数,利用导数研究函数的单调性,然后求出最值,进而得出相应的含参不等式,最后求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.,-16-,考点1,考点2,考点3,对点训练2已知函数f(x)=ax-ln x. (1)过原点O作函数f(x)图象的切线,求切点的横坐标; (2)对x1,+),不等式f(x)a(2x-x2)恒成立,求实数a的取值范围.,解:(1)设切点为M(x0,f(x0),切线方程为y-f(x0)=k(x-x0),又切线过原点O,-ax0+ln x0=-ax0+1, 由ln x0=1,解得x0=e,切点的横坐标为e.,-17-,考点1,考点2,考点3,(
5、2)不等式ax-ln xa(2x-x2)恒成立, 等价于a(x2-x)ln x对x1,+)恒成立. 设y1=a(x2-x),y2=ln x,由于x1,+),且当a0时,y1y2,故a0. 设g(x)=ax2-ax-ln x,当0a1时,g(3)=6a-ln 30不恒成立, 当a1,x=1时,g(x)0恒成立;,综上所述,a1.,-18-,考点1,考点2,考点3,例3已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 思考如何利用导数求与函数零点有关的参数范围?,-19-,考点1,考点2,考点3,解:(1)f(x)=(x
6、-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). ()设a0,则当x(-,1)时,f(x)0. 所以f(x)在(-,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增. ()设a0,由f(x)=0,得x=1或x=ln(-2a).,故当x(-,ln(-2a)(1,+)时,f(x)0; 当x(ln(-2a),1)时,f(x)0. 所以f(x)在(-,ln(-2a),(1,+)内单调递增, 在(ln(-2a),1)内单调递减.,-20-,考点1,考点2,考点3,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时,f(x)0; 当x(1,ln(-2a)时,f(x)0, 所以f(x)在(-,1),(ln(-2a),+)
7、内单调递增, 在(1,ln(-2a)内单调递减.,-21-,考点1,考点2,考点3,(2)()设a0,则由(1)知,f(x)在(-,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增.,在(ln(-2a),+)内单调递增. 又当x1时f(x)0,故f(x)不存在两个零点. 综上,a的取值范围为(0,+).,-22-,考点1,考点2,考点3,解题心得与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题),进而确定参数的取值范围.,-23-,考点1,考点2,考点3,对点训练3已知函数f(x)
8、=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点. (1)求a的取值范围; (2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x22.,(1)解:f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). 设a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点. 设a0,则当x(-,1)时,f(x)0,所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.,故f(x)存在两个零点.,-24-,考点1,考点2,考点3,设a0,由f(x)=0得x=1或x=ln(-2a).,故当x(1,+)时,f(x)0, 因此f(x)在(1,+)单调递增. 又当x1时,f(x)0,所以f(x)不存在两
9、个零点.,故当x(1,ln(-2a)时,f(x)0. 因此f(x)在(1,ln(-2a)单调递减, 在(ln(-2a),+)单调递增. 又当x1时f(x)0,所以f(x)不存在两个零点. 综上,a的取值范围为(0,+).,-25-,考点1,考点2,考点3,(2)证明:不妨设x1f(2-x2),即f(2-x2)0.,设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,则g(x)=(x-1)(e2-x-ex). 所以当x1时,g(x)1时,g(x)0. 从而g(x2)=f(2-x2)0,故x1+x22.,-26-,考点1,考点2,考点3,1.利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系,先结合不等式的结构特征,直接或等价变形后构造相应的函数,再通过导数运算判断出函数的单调性,利用单调性证明,或利用导数运算来求出函数的最值,利用最值证明. 2.求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题. 3.研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,一般是通过数形结合的思想找到解题思路,使用的知识是函数的性质,如单调性、极值等.,
