1、2.8 函数与方程,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(xD),把使 成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点. (2)函数零点的等价关系 方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与 有交点函数y=f(x)有 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理),f(x)=0,x轴,零点,连续曲线,f(a)f(b)0,f(x0)=0,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,1,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,(x1,0),(x2,0),(x1,0),2,1,0,-4-,知识梳理,双基自测,2,3,1,3.
2、二分法 对于在区间a,b上连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ,使区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.,f(a)f(b)0,一分为二,零点,2,-5-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0). ( ) (2)当b2-4ac0时,二次函数y=ax2+bx+c(a0) 没有零点. ( ) (3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象是连续的),则f(a)f(b)0. ( ) (4)若函数f(x)在区间(a,b)内连续单调且f
3、(a)f(b)0,则函数f(x)在区间a,b上有且只有一个零点. ( ) (5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个. ( ) (6)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. ( ),答案,-6-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,2.函数f(x)=1-xlog2x的零点所在区间是( ),答案,解析,-7-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,3.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,那么m的取值范围是( ) A.(-2,6) B.-2,6 C.-2,6 D.(-,-2)(6,+),答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,4.函数f(
4、x)=-|x|- +3的零点所在的区间为 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4),答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,5.(教材例题改编 P116例2)函数f(x)=ex+3x,则方程ex+3x=0实数解的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,5,自测点评 1.函数f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)=0的根,也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 2.“连续函数在一个区间端点处的函数值异号”是“这个函数在这个区间上存在零点”的充分条件,而不是必要条件. 3.函
5、数y=f(x)在区间a,b上单调,且f(a)f(b)0,若函数f(x)的图象是连续的,则f(x)在区间a,b上只有一个零点;若函数f(x)的图象不连续,则f(x)在区间a,b上可能没有零点.,-11-,考点1,考点2,考点3,例1(1)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( )(2)设定义域为(0,+)内的单调函数f(x),对任意的x(0,+),都有ff(x)-ln x=e+1,若x0是方程f(x)-f(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是( ) A.(0,1) B.(e-1,1) C.(0,e-1) D.(1,e) 思考判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点
6、的常用方法有哪些?,答案,-12-,考点1,考点2,考点3,(2)令f(x)-ln x=k,则f(x)=ln x+k.由ff(x)-ln x=e+1,得f(k)=e+1. 又f(k)=ln k+k=e+1,可知k=e.,-13-,考点1,考点2,考点3,解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法: (1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上. (2)利用函数零点的存在性定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,然后看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (3)通过画函数图
7、象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.,-14-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)(2018安徽皖北四校联考)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:则函数y=f(x)在区间1,6上的零点至少有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,B,-15-,考点1,考点2,考点3,(2)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则函数g(x)=ex+f(x)的零点所在的大致区间是( )A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) (3)函数f(x)=x2-3x-18在区间1,8上 零点.(填“存在”或“不存在”),B,存在,-
8、16-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)依题意,f(2)0,f(3)0,f(5)0,根据零点存在性定理可知,f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一个零点,故函数y=f(x)在区间1,6上的零点至少有3个.,g(0)g(1)0.故选B.,-17-,考点1,考点2,考点3,(3)(方法一)f(1)=12-31-18=-200, f(1)f(8)0, 又f(x)=x2-3x-18在区间1,8上的图象是连续的,f(x)=x2-3x-18在区间1,8上存在零点.,(方法二)令f(x)=0,得x2-3x-18=0, (x-6)(x+3)=0. x=6或x=-3. x=61,8,
9、x=-31,8, f(x)=x2-3x-18在区间1,8上存在零点.,-18-,考点1,考点2,考点3,例2(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对于任意的x0,+),满足f(x+2)=f(x),若当x0,2)时,f(x)=|x2-x-1|,则函数y=f(x)-1在区间-2,4上的零点个数为 . 思考判断函数零点个数的常用方法有哪些?,答案,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,(2)由题意作出y=f(x)在区间-2,4上的图象,可知与直线y=1的交点共有7个,
10、故函数y=f(x)-1在区间-2,4上的零点个数为7.,-21-,考点1,考点2,考点3,解题心得判断函数零点个数的方法: (1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.,-22-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)函数f(x)=sin(
11、cos x)在区间0,2上的零点个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6,A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,-23-,考点1,考点2,考点3,零点,则a的取值范围是( ) A.-1,0) B.0,+) C.-1,+) D.1,+) 思考已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法有哪些?,答案,解析,-24-,考点1,考点2,考点3,解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析
12、式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.,-25-,考点1,考点2,考点3,g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是( ) A.-1,1) B.-1,2) C.-2,2) D.0,2,答案,解析,-26-,考点1,考点2,考点3,1.函数零点的常用判定方法: (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f(x)=0. 2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)=f(x)-g(x)的零点. 3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.,函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.,
