1、微专题3 多变量问题的处理,微专题3 多变量问题的处理 题型一 利用基本不等式实现求解,例1 (1)已知x为正实数,且xy=2x+2,则 + 的最小值为 . (2)若a2-ab+b2=1,a,b是实数,则a+b的最大值是 .,答案 (1)2 (2)2,解析 (1)由题意可得x(y-2)=2,x0,y-20,所以 + 2 =2,当且仅 当 = 时取等号,故 + 的最小值为2.,(2)因为a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=1,所以(a+b)2-1=3ab ,即 (a+b)21,所 以-2a+b2,故a+b的最大值是2.,【方法归纳】 解决约束条件下的二元最值问题,可将条件与目标函数联系 起来
2、,对条件或目标函数适当变形,若两者之间有和或积的形式,可利用基本 不等式求解.,1-1 若实数x,y满足xy0,且log2x+log2y=1,则 的最小值为 .,答案 4,解析 由log2x+log2y=1得xy=2,又xy0,所以= =(x-y)+ 2 =4, 当且仅当x-y=2,即x=1+ ,y= -1时取等号, 所以 的最小值为4.,1-2 已知实数x,s,t满足8x+9t=s,且x-s,则 的最小值为 .,答案 6,解析 由x-s和8x+9t=s得9x+9t=x+s0,所以= =(x+s)+ =9(x+t)+ 6,当且仅当9(x+t)= 时取等号,故它的最小值为 6.,题型二 利用换元
3、法实现求解,例2 (1)设函数f(x)=x2+bx+c(b,cR)对任意的xR,都有f (x)f(x)成立,若对 满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)M(c2-b2)恒成立,则实数M的最小值 为 .,(2)已知实数x,y满足 +y2=1,则3x2-2xy的最小值为 .,答案 (1) (2)6-2,解析 (1)函数f(x)=x2+bx+c(b,cR)对任意的xR, 都有f (x)f(x)成立,即x2+(b-2)x+c-b0恒成立,则=(b-2)2-4(c-b)0,c +1,则c1, 且c2 =|b|,当c=|b|时,由c= +1可得c=|b|=2, 此时f(c)-f(b)=-8或0
4、,不等式f(c)-f(b)M(c2-b2)恒成立;当c|b|时,M = = ,令t= ,-1t1,则 =2- -, , 所以M ,M的最小值为 .,(2)设x=2cos ,y=sin ,则3x2-2xy=12cos2-4cos sin = 6+6cos 2-2sin 2=6+2 cos(2+),其中cos = ,sin = ,当cos(2+)=-1时,3x2-2xy取得最小值,为6-2 .,【方法归纳】 当条件与目标函数之间不能利用基本不等式时,可以用换元法(代数换元和三角换元)将多变量函数的最值问题转化为单变量函数的最值问题,再利用函数、三角函数的图象、单调性等求解.,2-1 正数a,b,c
5、满足 + = ,若 + t恒成立,则实数t的最大值为 .,答案 2,解析 由 + = 及a,b,c得 = 0,则bc0,02,由 + t恒成立,得 t, 则t2,故实数t的最大值为2.,2-2 已知a,bR,a+b=4,则 + 的最大值为 .,答案,解析 由基本不等式可得ab =4, 则 + = = = .令9-ab=t,t5, 则ab=9-t, + = = = , 当且仅当t=4 时取等号,故 + 的最大值为 .,题型三 利用消元实现求解,例3 (1)若关于x的不等式x3-3x2+ax+b0对任意的实数x1,3及任意的实数 b2,4恒成立,则实数a的取值范围是 . (2)已知实数x,y满足x
6、2+2xy-1=0,则x2+y2的最小值为 .,答案 (1)(-,-2) (2),解析 (1)不等式x3-3x2+ax+b0对任意的实数,b2,4恒成立,则x3-3x2+ax+40对任意的实数x1,3恒成立,所以,x3-3x2+4 .令f(x)=x2-3x+ , 则f (x)=2x-3- = = , x(1,2), f (x)0, f(x)递增.又f(1)=2, f(3)= ,则-a2, 即a-2. (2)由x2+2xy-1=0得y= = - ,则 x2+y2=x2+ = - 2 - = .,当且仅当5x2= 时取等号,故x2+y2的最小值为 .,【方法归纳】 (1)双变量函数问题要分两次,先
7、将其中一个变量看成常数, 利用分离参数或函数最值求解,去掉一个变量后再回到单变量函数问题上. (2)已知恒等式与目标函数之间没有明显关系时,可由恒等式中消去一个变 量,即用一个变量表示另一个变量,这样可消去一个变量,需要注意的是,消去 变量的范围要附加到保留下来的变量上,即“形灭神存”.,3-1 若不等式bx+c+9ln xx2对任意的x(0,+),b(0,3)恒成立,则实数c的 取值范围是 .,答案 c|c-9ln 3,解析 先将b看成变量,则不等式左边是关于b递增的一次函数,则(bx+c+9ln x)max=3x+c+9ln xx2,cx2-9ln x-3x,x(0,+),则c(x2-9l
8、n x-3x)min,x(0,+ ).令f(x)=x2-9ln x-3x,x(0,+),则f (x)=2x- -3= = ,x (0,+),当x(0,3)时, f (x)0, f(x)递增,则 f(x)min=f(3)=-9ln 3,故c-9ln 3.,3-2 已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为 .,答案 2 -3,解析 因为x0,y0,xy+2x+y=4,所以y= 0,得0x2.所以x+y=x+ =x + -2=(x+1)+ -32 -3,当且仅当x= -1时取等号,所以x+y的最小值 是2 -3.,1.已知正实数x,y满足 + =1,则 + 的最小值为 .,答案 2
9、5,解析 因为x,y都是正实数,且 = 0, = 0,所以x-10,y-10. 又 + =1x+y=xy, 所以(x-1)(y-1)=xy-x-y+1=1. 则 + =4+ +9+ =13+ + 13+2 =25,当且仅当= ,与 + =1联立解得x= ,y= 时等号成立,所以 + 的最小值为 25.,2.函数f(x)=2x2-4x+1(xR),若f(x1)=f(x2),且x1x2,则 的最小值为 .,答案 2,3.如图,已知矩形ABCD的边长AB=2,AD=1,点P,Q分别在边BC,CD上,且PAQ =45,则 的最小值为 .,答案 4 -4,4.已知a,b为正实数,且a+b=1,则 + 的最小值为 .,答案,所以a+ +b+1-2+ = + = = + + +2= ,当且仅当 = 时取等号, 所以 + 的最小值为 .,5.已知正实数,a,b满足 + =1,则ab的最大值为 .,答案 2-,解析 ab=ab = + . 令2a+b=m,2b+a=n,则a= ,b= ,m0,n0, 则 + = + =2- . 因为 + 2 = ,当且仅当n= m时取等号,则2- 2-,当且仅当n= m时取等号,故ab的最大值为2- .,
