1、1压轴题提分练(二)1设椭圆 1( a b0)的左焦点为 F，离心率为 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被x2a2 y2b2 33椭圆截得的线段长为 .433(1)求椭圆的方程；(2)设 A、 B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C， D 两点若 8， O 为坐标原点，求 OCD 的面积AC DB AD CB 解析：(1)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为 ，所以 .433 2b2a 433因为椭圆的离心率为 ，所以 ，33 ca 33又 a2 b2 c2，可解得 b ， c1， a .2 3所以椭圆的方程为 1.x23 y22(2)由(1)可
2、知 F(1,0)，则直线 CD 的方程为 y k(x1)联立Error! 消去 y 得(23 k2)x26 k2x3 k260.设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，所以 x1 x2 ， x1x2 .6k22 3k2 3k2 62 3k2又 A( ，0)， B( ，0)，所以 3 3 AC DB AD CB ( x1 ， y1)( x2， y2)( x2 ， y2)( x1， y1)3 3 3 36(22 k2)x1x22 k2(x1 x2)2 k26 8，2k2 122 3k2解得 k .2从而 x1 x2 ， x1x2 0.622 32 32 32 62 32所以| x1 x2|
3、， x1 x2 2 4x1x2 ( 32)2 40 32|CD| |x1 x2| .1 k2 1 232 332而原点 O 到直线 CD 的距离为 d ，|k|1 k2 21 2 63所以 OCD 的面积为 S |CD|d .12 12 332 63 3242已知函数 f(x)e x ax1( a 为常数)，曲线 y f(x)在与 y 轴的交点 A 处的切线斜率2为1.(1)求 a 的值及函数 y f(x)的单调区间；(2)若 x1ln 2，且 f(x1) f(x2)，试证明： x1 x22ln 2.解析：(1)由 f(x)e x ax1 得 f( x)e x a.又 f(0)1 a1，所以
4、a2，所以 f(x)e x2 x1， f( x)e x2.由 f( x)e x20 得 xln 2.所以函数 y f(x)在(，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增(2)证明：设 xln 2，所以 2ln 2 xln 2)，4ex则 g( x)e x4e x42 40，当且仅当 xln 2 时，等号成立，ex4e x所以 g(x) f(x) f(2ln 2 x)在(ln 2，)上单调递增又 g(ln 2)0，所以当 xln 2 时，g(x) f(x) f(2ln 2 x)g(ln 2)0，即 f(x)f(2ln 2 x)，所以 f(x2)f(2ln 2 x2)，又因为 f(x1) f(x2)，所以 f(x1)f(2ln 2 x2)由于 x2ln 2，所以 2ln 2 x2ln 2.因为 x1ln 2，由(1)知函数 y f(x)在(，ln 2)上单调递减，所以 x12ln 2 x2，即x1 x22ln 2.3
