1、1压轴题提分练(四)1(2018贵阳模拟)已知椭圆 C： 1( a b0)的右焦点为 F(c,0)，点 P 为椭圆 Cx2a2 y2b2上的动点，若| PF|的最大值和最小值分别为 2 和 2 .3 3(1)求椭圆 C 的方程；(2)设不过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 P， Q 两点，若直线 OP， PQ， OQ 的斜率依次成等比数列，求 OPQ 面积的最大值解析：(1)由已知得： Error!Error!， b2431，椭圆方程为 y21.x24(2)设 l： y kx b(易知 l 存在斜率，且 b0)，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)由条件知： k2 y1y2x1x2 k
2、x1 b kx2 bx1x2 k2k2x1x2 kb x1 x2 b2x1x2 kb x1 x2 b2x1x2 0， x1 x2 ，kb x1 x2 b2x1x2 bkError!(4k21) x28 kbx4 b240， (8 kb)24(4 k21)(4 b24)0，4 k21 b20， x1 x2 ，8kb1 4k2联立得： ，4 k21，bk 8kb1 4k2|PQ| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 .1 k244k2 1 b24k2 1 1 1442 b22 10 5b2点 O 到直线 l 的距离 d ，|b|1 k2 |b|1 14 S OPQ |PQ|d | b|12 12
3、 10 5b2 |b|54 2 b2 . 2 b2 b2 b2 1 2 14 k21 且 4k21 b20，20 b22，所以当Error! Error!直线 l 为： y x1 时，( S OPQ)max1.122(2018保定模拟)已知函数 f(x) axln x( a 是常数，且 a0)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 y f(x)在 x1 处取得极值时，若关于 x 的方程 f(x)2 x x2 b 在 上恰有两12， 2个不相等的实数根，求实数 b 的取值范围解析：(1)由已知函数 f(x)的定义域为 x0， f( x) a ，1x ax 1x由 f( x)0 得 x ，由
4、f( x)0，得 0 x .1a 1a所以函数 f(x)的单调减区间为 ，单调增区间为 .(0，1a) (1a， )(2)由题意，得 f(1)0. a1， f(x) xln x， f(x)2 x x2 b，即 xln x2 x x2 b. x23 xln x b0，设 g(x) x23 xln x b(x0)，则 g( x)2 x3 1x 2x2 3x 1x. 2x 1 x 1x当 x 时， g( x)， g(x)的变化情况如下表：12， 2x 12 (12， 1) 1 (1,2) 2g( x) 0 0 g(x) b54ln2 b2 b2ln 2方程 f(x)2 x x2 b 在 上恰有两个不相等的实数根，12， 2 Error!Error! ， ln 2 b2 即 b .54 54 ln 2， 2)3
