1、专题2 函数与导数,第1讲 基础小题部分,考情考向分析 1高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下 2对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题 3对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数数值、最值、零点或分段函数以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大,考点一 函数的图象,解析：yexex是奇函数，yx2是偶函数，答案：B,2(变换)已知定义域为0,1的函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x1)的图象可能是 ( ),解析：因为f(x1)f
2、(x1)，先将f(x)的图象沿y轴翻折，y轴左侧的图象即为f(x)的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f(x1)的图象，故选B. 答案：B,3(应用)若不等式(x1)2logax在x(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为 ( ),解析：根据题意，只需函数y(x1)2在(1,2)上的图象在ylogax的图象的下方即可 当01时，如图，要使x(1,2)时y(x1)2的图象在ylogax的图象的下方，只需(21)2 loga2，即loga21，解得1a2，故实数a的取值范围是(1,2故选A. 答案：A,1由函数解析式辨识图象通过观察函数解析式的形式从而了解函数图象的特点，在识别上可以
3、采用特殊的原则，去寻找特殊点和特殊位置 2函数图象变换的四种形式(1)平移变换(上加下减，左加右减),(2)伸缩变换(3)对称变换,(4)翻折变换,考点二 函数的性质,2(函数值)(2018高考全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50) ( )A50 B0C2 D50解析：f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(1x)f(x1)由f(1x)f(1x)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)，函数f(x)是周期为4的周期函数由f(x)为奇函数得f(0)0.,又f(1x)f(1x)
4、， f(x)的图象关于直线x1对称， f(2)f(0)0，f(2)0. 又f(1)2，f(1)2， f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200， f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)012f(49)f(50)f(1)f(2)20 2.故选C. 答案：C,A1,0) B0，)C1，) D1，),解析：令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，,此时1
5、0a，a1. 当yxa在yx1上方，即a1时，仅有1个交点，不符合题意 当yxa在yx1下方，即a1时，有2个交点，符合题意 综上，a的取值范围为1，)故选C. 答案：C,4(函数零点性质)已知函数f(x)|ln x|，若0ab，且f(a)f(b)，则a2b的取值范围是 ( ),答案：C,解析：由题意知，f(0)2012，则ff(0)f(2)42a，即42a4a，所以a2.答案：2,A1,0) B0,1C1,1 D2,2解析：函数yf(x)的图象如图所示，由图可知f(x)为偶函数，所以f(a)f(a)，则不等式f(a)f(a)2f(1)等价为2f(a)2f(1)，即f(a)f(1)，再由图象可
6、得|a|1，即1a1.故选C.答案：C,解析：令xy0，得f(0)0，再令yx， 得f(x)f(x)f(0)0， 所以函数f(x)为奇函数 对任意x1，x2R，若x10， 则f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)f(x2)，,所以函数f(x)在R上为减函数，则在区间3,3上也必为减函数， 而f(3)f(21)f(2)f(1)3f(1)2， 所以f(3)f(3)2， 所以函数f(x)在区间3,3上的值域为2,2， 即函数f(x)在区间3,3上的最大值为2，最小值为2.,1函数单调性的规律(1)函数yf(x)与yf(x)在同一区间内的单调性相反(3)在公共区域内，增函数增函数增函数
7、，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数(4)在公共区域内，若f(x)与g(x)同为增函数或同为减函数，则yfg(x)是增函数；若f(x)与g(x)一个为增函数、一个为减函数，则yfg(x)是减函数,2函数周期性的结论(1)若f(xT)f(x)，则f(x)为周期函数，且2T为f(x)的一个周期(3)若f(xT1)f(xT2)，则f(x)为周期函数，且T1T2为f(x)的一个周期特别地，若f(xT)f(xT)，则f(x)为周期函数，且2T为f(x)的一个周期(4)若f(xT1)f(xT2)，则f(x)为周期函数，且2(T1T2)为f(x)的一个周期特别地，若f(xT)f(xT
8、)，则f(x)为周期函数，且4T为f(x)的一个周期(5)若f(T1x)f(T1x)且f(T2x)f(T2x)，则f(x)为周期函数，且2|T1T2|为f(x)的一个周期,3判断函数零点个数的方法(1)解方程法：若对应方程f(x)0可解，则通过解方程，方程有几个解函数就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，而且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，两图象交点的个数，就是函数零点的个数,4常见函数零点的性质
9、问题的处理思路(1)代换法：将相等的函数值设为t，从而用t可表示出x1，x2，将关于x1，x2，的表达式转化为关于t的一元表达式，进而可求出范围或最值(2)利用对称性解决对称点求和：如果x1，x2关于xa轴对称，则x1x22a；同理，若x1，x2关于(a,0)中心对称，则也有x1x22a.将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴(或对称中心)找到联系(3)分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决(4)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解,考点三 导数及应用 1(导数与切线方程)(2018高考全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax
10、，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( )Ay2x ByxCy2x Dyx解析：法一：f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.,法二：f(x)x3(a1)x2ax为奇函数， f(x)3x22(a1)xa为偶函数， a1，即f(x)3x21，f(0)1， 曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D. 答案：D,答案：B,1曲线的切线问题,2导数与函数
11、单调性的“三关”一是“构造关”：根据题意构造所用函数二是“求导关”：将所用函数，根据求导法则求导三是“性质关”：判断所构造函数的单调等性质 3导数与极值(1)求函数yf(x)的极值的关键：先求导数yf(x)；再求方程f(x)0的根(临界点)x0.如果在根x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是yf(x)的极小值；如果在根x0附近的左右两侧导数值同号，则f(x0)不是yf(x)的极值(2)导数为0的点不一定是极值点例如函数f(x)x3，有f(0)0，但x0不是极值点(3)极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷”函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不
12、能成为极值点,1对复合函数的定义域、值域理解不透彻致误,答案 B,2忽视函数的定义域致错 典例2 若函数f(x)loga(x2ax3a6)在2，)上是增函数，则实数a的取值范围是_又函数f(x)loga(x2ax3a6)在2，)上是增函数，所以外层函数f(u)logau在其定义域上单调递增，内层函数u(x)x2ax3a6在2，)上单调递增，答案 (2,4,易错防范 对于复合函数的单调性要遵循两个原则：(1)定义域优先原则；(2)“同增异减”原则该题易忽视外层函数f(u)logau的定义域致错，需注意u(x)x2ax3a6在2，)上恒大于0.,3换元后忽视新元的取值范围致错 典例3 设函数f(x
13、)的定义域为D，若f(x)满足条件：存在a，bD(ab)，使f(x)在a，b上的值域也是a，b，则称函数f(x)为“优美函数”若函数f(x)log2(4xt)为“优美函数”，则t的取值范围是 ( ),答案 D,易错防范 本题是一个新定义问题，读懂题意后，即可由函数f(x)log2(4xt)为“优美函数”，得到关于a，b的方程组，并构造出以a，b为实数根的方程在解题过程中易忽视“m0”这一隐含条件，认为方程m2mt0有两个不等的实根，从而由0得到错误结果在应用换元法解题时，一定要注意挖掘隐含条件，确定新元的取值范围，以防在解题过程中出现非等价转化,4忽视对指数、对数函数的底数中的参数的讨论致错
14、典例4 已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.综上可知，ab4.答案 4,易错防范 本题要由“函数f(x)的定义域和值域都是1,0”这一条件得到关于a，b的方程组，必须先明确函数f(x)的单调性，而底数a的值决定了函数f(x)的单调性，因此分01两种情况进行求解注意对于底数含参的指数(对数)函数，当涉及单调性、值域与最值、解不等式等问题时，一般需进行分类讨论,5不善于挖掘函数的性质致错 典例5 已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)ex1mcos x，记a2f(2)，bf(1)，c3f(3)，则a，b，c的大小关系是 ( )Abac BacbCc
15、ba Dcab,解析 因为函数f(x)为R上的奇函数， 所以f(0)m0，即m0. 设g(x)xf(x)，则g(x)为R上的偶函数 当x0时，f(x)ex1，g(x)x(ex1)， 则g(x)ex1x(ex)1(1x)ex0， 所以g(x)在0，)上单调递减 又ag(2)g(2)，bg(1)g(1)，cg(3)， 所以cab.故选D. 答案 D,易错防范 若不能挖掘试题中隐藏的一些条件(如函数性质)，则很容易出错，甚至会出现不知如何下手的情况注意本题中利用偶函数的性质来判断a，b，c的大小，可以避免分类讨论另外，对于函数的奇偶性，除根据定义或利用函数的图象特征判断外，还可以根据性质(奇奇奇，偶
16、偶偶；奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇)判断(在公共定义域内)在平时的学习中多积累这样的解题小结论，可以简化解题步骤，快速解题，避免不必要的错误,6作函数图象不规范致误 典例6 定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的xR，有f(x2)f(x)f(1)，且当x0,1时，f(x)2(x1)2，若函数yf(x)loga(|x|1)在R上恰好有六个零点，则实数a的取值范围是_解析 令x1，得f(1)f(1)f(1)，因为f(x)为偶函数，所以f(1)f(1)，所以f(1)0，f(x2)f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数令g(x)loga(|x|1)，根据题意作出函数yf(x)和g(x)loga(|x|1)的部分图象，如图所示，,因为yf(x)和yg(x)均为偶函数，所以yf(x)和yg(x)的图象在(0，)上恰有三 个交点，,易错防范 本题将函数的零点个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，运用数形结合的思想求解，此方法较为常规，本题的难点在于对函数f(x)的周期的推导本题极易因作图不准确致误，为避免失误，作图时一定要明确函数的定义域、单调性、奇偶性、周期性等，并找出关键点，注意“草图不草”另外，需重点掌握周期函数与绝对值函数的图象的画法,
