1、二次函数的图象与性质 第4课时,2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.,1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.,1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.,(1) y=2(x3)2 5,(2)y=0.5(x+1)2,(3) y = 3(x+4)2+2,2.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？,【解析】,1.（1）开口：向上，对称轴：直线x=3,顶点坐标（3，-5）,（2）开口：向下，对称轴：直线x=-1,顶点坐标（-1，0）,（3）开口：向上，对称轴：直线x=-4,顶点坐标（-4，2）,2.（1）由y=2
2、x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位.,（2）由y=-0.5x2向左平移1个单位.,（3）由y=3x2向左平移4个单位，再向上平移2个单位.,我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.,那是怎样平移的呢？,y=3x2-6x+5,=3(x-1)2+2,只要将表达式右边进行配方就可以知道了.,配方后的表达式通常称为配方式或顶点式,这个结果通常称为顶点坐标公式.,二次函数y=ax+bx+c的顶点式,【探究新知】,因此,二次函数y=ax+bx+c的图象是一条抛物线.,结论 顶点坐标公式,根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标
3、：,【跟踪训练】,【解析】,（1）对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-5）.,（2）对称轴为直线x=8,顶点坐标为（8，1）.,（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.,（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.,如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y= x+ x+10 表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称,钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ 两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 你有哪些计算方法？与同伴进行交流.,【例题】,（1）将函数y= x2+ x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆
4、的最低点到桥面的距离;,由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.,【解析】方法一,（2）,（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.,方法二,确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.,【跟踪训练】,【解析】,（1）开口：向上，对称轴：直线x=1, 顶点坐标为（1，0）.,（2）开口：向上，对称轴：直线x=1, 顶点坐标为（1，-3）.,（3）开口：向上，对称轴：直线x=1, 顶点坐标为（1，-1）.,（4）开口：向上，对称轴：直线x=0.5, 顶点坐标为（0.5， -2.25）.,（5）开口：向下，对称轴：直线x=-6, 顶点坐标为（-6，27）.,1. （菏泽中考）如图为抛物线y=
5、ax2+bx+c的图象,A , B, C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ） A.a+b=-1 B.a-b=-1 C.b2a D.ac0 【解析】选B.抛物线开口向上，a0, 抛物线与y轴交于正半轴，c0，ac0，故D错；OA=OC=1，A，C两点的坐标分别为（-1，0），（0，1），当x=0时，y=1，即c=1；当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，a-b=-c=-1，故B对；由图象可知x=1时，y0，即a+b+c0，a+b-1，故A错； 对称轴 ，b2a，故C错.,2.（鄂州中考）二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列结论a，b异号；
6、当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=4时，x的取值只能为0其中正确的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4,【答案】选C.,A.0，5 B.0，1 C.-4，5 D.-4，1,，,的值分别为（ ）,3（安徽中考） 若二次函数,配方后为,则,【答案】选D.,4（福州中考）已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A.a0 B.c0 C.b24ac0 D.abc0,【答案】选D.,x,y,O,【答案】选D.,6（株洲中考）已知二次函数,(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”下图分别是当a=-1, a=0, a=1, a=2时二次函
7、数的图象.它们的顶点在同一条直线上，这条直线的解析式是 .,【答案】,【规律方法】,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与y=ax(a0)的关系,1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最大(或小)值. (4)a0时, 开口向上,在对称轴左侧,y随x的增大而减小；在对称轴右侧,y随 x的增大而增大.a0时,开口向下,在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随 x的增大而减小 .,2.不同点: (1)位置不同. (2)顶点不同:分别是 和(0,0). (3)对称轴不同:分别是 和y轴. (4)最值不同:分别是 和 0.,3.联系
8、: (a0) 的图象可以看成y=ax的 图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位（当 时向右平移，当 时向左平移）,再沿对称轴 整体上(下)平移| |个单位 (当 0时 向上平移;当 0时,向下平移)得到的.,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随x的增大而减小.,根据图形填表：,希望不能和忧愁结伴，忧愁会拖后腿，希望和欢乐交朋友，欢乐会催你前行. 冰心,
