1、第13讲 二次函数的应用,考点,考点二次函数的实际应用 1.应用二次函数解决实际问题的方法 (1)弄清问题的变化过程,寻找数量关系; (2)根据等量关系列出函数表达式; (3)根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围; (4)利用函数性质解决问题; (5)检验并写出合适答案.,考点,2.二次函数应用问题的常见类型 (1)最值型 列出二次函数表达式,根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围; 配方或用公式法求顶点; 如果顶点在自变量的取值范围内,那么二次函数在顶点处取得最大值(或最小值);如果自变量的取值范围是x1xx2,顶点在自变量的取值范围x1xx2内,则当 ,如果顶点不在此范围内,则需根据
2、二次函数增减性确定最值.,考点,(2)现实生活中的抛物线型 弄清函数中自变量和函数的实际意义,建立平面直角坐标系,将题目中实际条件转化成坐标; 利用待定系数法求出二次函数关系式; 将题目中提出的实际问题转化为函数问题; 利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题. (3)几何图形面积型 找出引起面积变化的长度、坐标或时间等作为变量; 找出题目中变量与面积的对应关系,求出二次函数关系式; 确定自变量的取值范围; 利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1 二次函数与增长率 1.(2014安徽,12,5分)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以
3、后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=a(1+x)2 .,解析 一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x, 二月份研发资金为a(1+x).三月份的研发资金为y=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点2 几何图形面积与二次函数 2.(2015安徽,22,12分)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为x m,矩
4、形区域ABCD的面积为y m2.(1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围. (2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少?,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,命题点3 利润与资源的最优化,3.(2018安徽,22,12分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆,售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元,调研发现: 盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元; 花卉的平均每盆利润始终不变. 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆
5、,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2(单位:元). (1)用含x的代数式分别表示W1,W2; (2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,解:(1)W1=(50+x)(160-2x)=-2x2+60x+8 000,W2=19(50-x)=-19x+950. (2)W总=W1+W2=-2x2+41x+8 950(0x50,且x为整数),-20,开口,时,y随x的增大而减小. x取整数,故当x=10时,W总最大,W总的最大值为-2102+4110+8 950=9 160.,命题点1,命题点2,命题点3,命
6、题点4,命题点4 现实生活的抛物线 4.(2012安徽,23,14分)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围) (2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由. (3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.,命题点1,命题点2,命题点3,命题点4,考法1,考法2,考法3,考法1图形面积问题
7、,例1(2016安徽)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2x6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.,考法1,考法2,考法3,解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,(2)过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CEAD于点E,CFx轴于点F.,则S=SOAD+SACD+SBCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x,所以S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2x6). 因为S=-(
8、x-4)2+16,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.,考法1,考法2,考法3,方法总结求图形的面积,一般通过转化解决,本题连接CD和添加一些垂线把四边形OACB的面积转化为几个三角形面积的和,把得到的二次函数配方成顶点形式可求二次函数的最值.,考法1,考法2,考法3,对应练1(2018湖北荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召,某单位不断美化环境,拟在一块矩形空地上修建绿色植物园,其中一边靠墙,可利用的墙长不超过18 m,另外三边由36 m长的栅栏围成.设矩形ABCD空地中,垂直于墙的边AB=x m,面积为y m2(如图).(1)求y与x之间的函数关系式,并写出
9、自变量x的取值范围; (2)若矩形空地的面积为160 m2,求x的值;,考法1,考法2,考法3,(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表).问丙种植物最多可以购买多少棵?此时,这批植物可以全部栽种到这块空地上吗?请说明理由.,考法1,考法2,考法3,解:(1)y=x(36-2x)=-2x2+36x. (2)由题意:-2x2+36x=160, 解得x=10或x=8.x=8时,36-16=20162, 这批植物不可以全部栽种到这块空地上.,考法1,考法2,考法3,考法2最值问题,例2(2018四川眉山)传统的端午节即将来临,某
10、企业接到一批粽子生产任务,约定这批粽子的出厂价为每只4元,按要求在20天内完成.为了按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x满足如下关系:,(1)李明第几天生产的粽子数量为280只? (2)如图,设第x天生产的每只粽子的成本是p元,p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本),考法1,考法2,考法3,解:(1)设李明第x天生产的粽子数量为280只,由题意可知:20x+80=280,解得x=10. 答:第10天生产的粽子为420只. (2)
11、由图象得,当0x10时,p=2; 当10x20时,设p=kx+b, 把点(10,2),(20,3)代入得,p=0.1x+1. 0x6时,w=(4-2)34x=68x,当x=6时,w最大=408(元); 6x10时,w=(4-2)(20x+80)=40x+160,x是整数,当x=10时,w最大=560(元); 10x20时,w=(4-0.1x-1)(20x+80)=-2x2+52x+240,a=-20,考法1,考法2,考法3,综上,当x=13时,w有最大值,最大值为578元. 方法总结本题考查了利润最大化问题,解题的关键根据题目给出的自变量的取值范围,列出对应函数关系式.一般把二次函数关系式配成
12、顶点形式,结合自变量取值范围和抛物线的开口方向解决问题.但要注意:若抛物线顶点横坐标的值不在自变量取值范围内,我们就需要结合函数图象的增减性质求出最值.,考法1,考法2,考法3,对应练2(2017山东济宁)某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30x60).设这种双肩包每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数关系式; (2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销售这种双肩包每
13、天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?,考法1,考法2,考法3,解:(1)w=(x-30)y=(x-30)(-x+60)=-x2+90x-1 800, 所以w与x的函数关系式为: w=-x2+90x-1 800(30x60). (2)w=-x2+90x-1 800=-(x-45)2+225. -142,x2=50不符合题意,应舍去.,考法1,考法2,考法3,考法3现实生活中的抛物线 例3(2018山东滨州)如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-5x2+20x
14、,请根据要求解答下列问题:(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为15 m时,飞行的时间是多少? (2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少? (3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大?最大高度是多少?,考法1,考法2,考法3,解:(1)当y=15时,有-5x2+20x=15,化简得x2-4x+3=0,因式分解得(x-1)(x-3)=0,故x=1或3,即飞行时间是1秒或者3秒. (2)飞出和落地的瞬间,高度都为0,故y=0.所以有0=-5x2+20x,解得x=0或4,所以从飞出到落地所用时间是4-0=4(秒).,方法总结本题考查了现实生活的抛物线型问题,解这种问题往往先将题目中给出实际意
15、义的量转换成点的坐标,再通过待定系数法求出函数解析式,再通过待求量在函数中表示的意义,利用函数解析式求解.自变量x和函数y对应生活实际意义的理解是解这种问题的突破口.,考法1,考法2,考法3,对应练3(2018浙江衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合,如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.,考法1,考法2,考法3,(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式; (2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内? (3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进;在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后水柱的最大高度.,解:(1)抛物线的顶点为(3,5),考法1,考法2,考法3,可得x1=7,x2=-1(舍去). 答:王师傅必须站在离水池中心7米以内.,直径扩大到32米,新抛物线也过点(0,16).,
