1、第21讲 矩形、菱形、正方形,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一矩形(高频),考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,考点二菱形(高频),考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,考点三正方形(高频),考点一,考点二,考点三,考点四,考点四平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,命题点1,命题点2,命题点3,命题点1 矩形的性质,1.(2017安徽,10,4分)如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB= S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和PA+PB 的最小值为( D ),命题点1,命题点2,命题点3,解析: 设AB
2、P中AB边上的高是h.,动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上,如图,作A关于直线l的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离. 在RtABE中,AB=5,AE=2+2=4,命题点1,命题点2,命题点3,命题点2 矩形、菱形的性质综合应用 2.(2015安徽,9,4分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是( C ),命题点1,命题点2,命题点3,解析 如图,连接EF交AC于点O,根据菱形性质有FEAC,OG=OH,易证OA=OC.由四边形ABCD是矩形,得B=90,根据勾股定
3、理得,命题点1,命题点2,命题点3,命题点3 正方形的性质与判定 3.(2014安徽,10,4分)如图,正方形ABCD的对角线BD长为2 ,若直线l满足: 点D到直线l的距离为 ; A,C两点到直线l的距离相等. 则符合题意的直线l的条数为( B ) A.1 B.2 C.3 D.4,解析 如图,连接AC与BD相交于O,同理,在点D的另一侧还有一条直线满足条件, 故共有2条符合题意的直线l.故选B.,考法1,考法2,考法3,考法1矩形的相关证明与计算,例1(2018合肥行知学校模拟)如图,已知ABCD,延长AB到E使BE=AB,连接BD,ED,EC,若ED=AD. (1)求证:四边形BECD是矩
4、形; (2)连接AC,若AD=4,CD=2,求AC的长. 解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ABCD,AB=CD,BE=AB,BE=CD, 四边形BECD是平行四边形. AD=BC,AD=DE,BC=DE, BECD是矩形.,考法1,考法2,考法3,(2)连接AC,CD=2, AB=BE=2. AD=4,ABD=90,考法1,考法2,考法3,方法总结1.矩形判定的一般思路 首先判定是否为平行四边形,再找直角或者对角线的关系.若角度容易求,则证明其一角为90,便可判定是矩形;若对角线容易求,则证明其对角线相等即可判定其为矩形. 2.应用矩形性质计算的一般思路 (1)根据矩形的四个角都
5、是直角,一条对角线将矩形分成两个直角三角形,用勾股定理或三角函数求线段的长. (2)矩形对角线相等且互相平分,矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形,在利用矩形性质进行相关的计算时,可利用面积法,建立等量关系.,考法1,考法2,考法3,对应练1(课本习题改编)下列命题,其中是真命题的为( D ) A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的四边形是矩形 D.一组邻边相等的矩形是正方形,考法1,考法2,考法3,对应练2(2017山东潍坊)如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折,使点B落在AD上,记为B,折痕为CE;再将C
6、D边斜向下对折,使点D落在BC上,记为D,折痕为CG,BD=2,BE= BC.则矩形纸片ABCD的面积为15 .,考法1,考法2,考法3,解析:由折叠可知BC=BC,CD=CD, 又BD=2,故设BC=x,整理,得x2-7x+10=0,解得x1=5,x2=2(不合题意,舍去),矩形纸片ABCD的面积为BCCD=53=15.,考法1,考法2,考法3,对应练3(2018甘肃白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:BGFFHC; (2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.,考法1,考法2,考法3,解:(1)点F是
7、BC边上的中点,BF=FC. 点F,G,H分别BC,BE,CE的中点, GF,FH是BEC的中位线.,BGFFHC(SSS). (2)当四边形EGFH是正方形时, BEC=90,FG=GE=EH=FH. FG,FH是BEC的中位线,BE=CE. BEC是等腰直角三角形.,考法1,考法2,考法3,考法2菱形的相关证明及计算,例2(2017江苏扬州)如图,将ABC沿着射线BC方向平移至ABC,使点A落在ACB的外角平分线CD上,连接AA.(1)判断四边形ACCA的形状,并说明理由; (2)在ABC中,B=90,AB=24,cosBAC= ,求CB的长.,考法1,考法2,考法3,解:(1)四边形AC
8、CA为菱形.理由如下: ABC是由ABC平移得到的, AACC,且AA=CC. 四边形ACCA是平行四边形,AAC=ACC. CD平分ACC,ACA=ACC. AAC=ACA,AC=AA. 四边形ACCA为菱形.,考法1,考法2,考法3,方法总结1.菱形判定的一般思路: 首先判定是平行四边形,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形来判定,这是判定菱形的最常见思路.也可以考虑其他判定方法,例如若能证明对角线互相垂直平分,也能判定该四边形是菱形. 2.应用菱形性质计算的一般思路: 因菱形的四条边相等,菱形对角线互相垂直,故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段长.也可以根据菱形既是轴对称图形,又是中心对称
9、图形,结合它的对称性得出的一些结论来计算.,考法1,考法2,考法3,对应练4(原创题)菱形不具备的性质是 ( C ) A.四条边都相等 B.四条边对边平行 C.对角线一定相等 D.对角线互相垂直,对应练5(2018安庆四中模拟)如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是( B )A.AB=AD B.AC=BD C.ACBD D.ABO=CBO,对应练6(2017北京)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形; (2
10、)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.,考法1,考法2,考法3,考法1,考法2,考法3,(1)证明: E为AD中点,AD=2BC,BC=ED.ADBC,四边形BCDE是平行四边形.ABD=90,E为AD中点.BE=ED,四边形BCDE是菱形.(2)解: ADBC,AC平分BAD,BAC=DAC=BCA,BA=BC=1.AD=2BC=2,考法1,考法2,考法3,考法3正方形的相关证明及计算,例3(2018湖北十堰)已知正方形ABCD与正方形CEFG,M是AF的中点,连接DM,EM.(1)如图1,点E在CD上,点G在BC的延长线上,请判断DM,EM的数量关系与位置关系,并直接写出结论
11、; (2)如图2,点E在DC的延长线上,点G在BC上,(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论; (3)将图1中的正方形CEFG绕点C旋转,使D,E,F三点在一条直线上,若AB=13,CE=5,请画出图形,并直接写出MF的长.,考法1,考法2,考法3,解:(1)结论:DMEM,DM=EM. (2)如图1中,结论不变.DMEM,DM=EM. 理由:如图2中,延长EM交DA的延长线于H. 四边形ABCD是正方形,四边形EFGC是正方形, ADE=DEF=90,AD=CD, ADEF,MAH=MFE. AM=MF,AMH=FME, AMHFME. MH=ME,AH=EF=EC,DH=DE. EDH=
12、90,DMEM,DM=ME.,考法1,考法2,考法3,(3)如图2中,作MRDE于R.,DM=ME,DMME, 又MRDE,考法1,考法2,考法3,方法总结对于与正方形性质相关的计算问题,要合理应用其性质及由性质得到的一些结论: (1)四角相等均为90以及四边相等. (2)对角线垂直且相等. (3)对角线平分一组对角得到45角.,考法1,考法2,对应练7(2012安徽)为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为( A )A.2a2 B.3a2 C.4a2 D.5a2,考法3,解
13、析: 图案中间的阴影部分是正方形,面积是a2,由于原来地砖更换成正八边形,四周一个阴影部分是对角线为a的正方形的一半,它的面积用对角线积的一半来计算.,考法1,考法2,考法3,对应练8(2018安徽名校模拟卷)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”如图(1),图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3,若正方形EFGH的边长为2,则S1+S2+S3=12 .,考法1,考法2,考法3,解析:图中的八个直角三角形全等, 设每个三角形的面积为S,则S1-S2=4S
14、,S2-S3=4S, S1-S2=S2-S3, S1+S3=2S2=222=8, S1+S2+S3=8+4=12.,考法1,考法2,考法3,对应练9(2018安徽第五次联考)如图1,已知正方形ABCD和正方形QMNP,点M是正方形ABCD的对称中心,MN交AB于点F,QM交AD于点E.(1)猜想:ME与MF的数量关系,不用证明;,考法1,考法2,考法3,(2)如图2,若将原题中的“正方形”改为“菱形”,且EMF=ABC,其他条件不变,探索线段ME与线段MF的数量关系,并加以证明;,考法1,考法2,考法3,(3)如图3,若将原题中的“正方形”改为“矩形”,且ABBC=12,其他条件不变,探索线段
15、ME与线段MF的数量关系,并加以证明.,考法1,考法2,考法3,解:(1)ME=MF. (2)ME=MF. 证明:如图1,过点M作MHAD于点H,MGAB于点G. M是菱形ABCD的对称中心, M是菱形ABCD对角线的交点, AM平分BAD, MH=MG. EMF=ABC, EMF+BAD=180. 又MHA=MGF=90, HMG+BAD=180, EMF=HMG,EMH=FMG, 又MHE=MGF,MHEMGF. ME=MF.,考法1,考法2,考法3,(3)MEMF=12. 证明:如图2,过点M作MHAD于点H,MGAB于点G. 四边形ABCD是矩形, GAH=90. 又MHA=MGA=90, HMG=90. EMF=HMG,EMH=FMG. 又MHE=MGF,MHEMGF,又M是矩形ABCD的对称中心, M是矩形ABCD对角线的中点. MGAB,MGBC.,
