1、- 1 -垂径定理一课一练基础闯关题组一 垂径定理1.(2017红桥模拟)如图,O 的半径为 5,AB为弦,半径 OCAB,垂足为点 E,若 OE=3,则 AB的长是 ( )A.4 B.6 C.8 D.10【解析】选 C.连接 OA,OCAB,OA=5,OE=3,AE= = =4,AB=2AE=8.O22 52322.(2017黔东南州中考)如图,O 的直径 AB垂直于弦 CD,垂足为 E,A=15,半径为 2,则弦 CD的长为( )世纪金榜导学号 18574095A.2 B.-1 C. D.42【解析】选 A.O 的直径 AB垂直于弦 CD,CE=DE,CEO=90,A=15,COE=30,
2、OC=2,CE= OC=1,CD=2CE=2.123.已知O 的直径 CD=10cm,AB是O 的弦,AB=8cm,且 ABCD,垂足为 E,则 AC的长为 ( )- 2 -A.2cm B.4cmC.2cm或 4cm D.2cm或 4cm【解析】选 C.如图,AB 的位置有两种,分别连接 AO,由垂径定理得 AE=4,由勾股定理得 OE=3,AC=4 cm或 AC= =2 cm.(5+3)2+42 5 (53)2+42 5【易错提醒】题目中没有图形,弦 AB的位置不能确定,此处需分类讨论,易忽略其中一种情况.4.(2017新疆生产建设兵团中考)如图,O 的半径 OD垂直于弦 AB,垂足为点 C
3、,连接 AO并延长交O 于点 E,连接 BE,CE.若 AB=8,CD=2,则BCE 的面积为 世纪金榜导学号 18574096( )A.12 B.15 C.16 D.18【解析】选 A.O 的半径 OD垂直于弦 AB,垂足为点 C,AB=8,AC=BC= AB=4.12设 OA=r,则 OC=r-2,在 RtAOC 中,AC 2+OC2=OA2,即 42+(r-2)2=r2,解得 r=5,AE=10,BE= = =6,A22 10282BCE 的面积= BCBE= 46=12.12 12- 3 -5.(2017大连中考)如图,在O 中,弦 AB=8cm,OCAB,垂足为 C,OC=3cm,则
4、O 的半径为_cm.【解析】由于在O 中,弦 AB=8cm,OCAB,所以 BC= AB=4cm,设圆的半径为 R,则 R= =12 O2+2=5cm.32+42答案:56.(2017南通模拟)已知:如图,AB 是O 的弦,半径 OC,OD分别交 AB于点 E,F,且 OE=OF.求证:AE=BF. 世纪金榜导学号 18574097【证明】如图,过点 O作 OMAB 于点 M,则 AM=BM.又OE=OF,EM=FM,AE=BF.题组二 垂径定理的应用1.当宽为 3cm的刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆的两个交点处的读数如图所示(单位:cm),那么该圆的半径为 ( )- 4 -A.8 cm
5、B.9 cm C. cm D.10 cm256【解析】选 C.如图所示,连接 OA,过点 O作 ODAB 于点 D,ODAB,AD= AB= (9-1)=4cm,12 12设 OA=r,则 OD=r-3,在 RtOAD 中,OA2-OD2=AD2,即 r2-(r-3)2=42,解得 r= cm.2562.(2017临沂模拟)小明家凉台呈圆弧形,凉台的宽度 AB为 8m,凉台的最外端 C点离 AB的距离 CD为 2m,则凉台所在圆的半径为 ( )世纪金榜导学号 18574098A.4m B.5m C.6m D.7m【解题指南】设圆心为 O点,连接 OA,OD,根据题意得:OCAB,利用垂径定理得
6、到 D为 AB的中点,求出 AD的长,由 OC-CD求出 OD的长,在直角三角形 AOD中,设 OA=r,利用勾股定理列出关于 r的方程,求出方程的解得到 r的值,即为圆的半径.【解析】选 B.设圆心为 O点,连接 OA,OD,根据题意得:OCAB,D 为 AB的中点,即 AD=BD= AB=4(m),12设圆的半径为 r,则有 OD=OC-CD=(r-2)m,在 RtAOD 中,OA 2=AD2+OD2,即 r2=42+(r-2)2,解得:r=5,则凉台所在圆的半径为 5m.- 5 -3.(2017盐都模拟)如图,直角坐标系中一条圆弧经过格点 A,B,C,其中 B点坐标为(3,4),则该弧所
7、在圆心的坐标是_.【解析】如图所示,作弦 AC和 BC的垂直平分线,由垂径定理得交点即为圆心.如图所示,则圆心 D(1,1).答案:(1,1)4.如图 1,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图 2是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB=40cm,脸盆的最低点 C到 AB的距离为 10cm,则该脸盆的半径为_cm. 世纪金榜导学号18574099【解析】如图,圆心为点 O,连接 OC交 AB于点 D,则 OCAB,设圆的半径为rcm,AB=40cm,CD=10cm,AD=20cm,在 RtAOD 中,由勾股定理得 r2=202+(r-10)2,解得 r=25.- 6 -答案:25
8、(2017阜阳模拟)如图,O 过点 B,C,圆心 O在等腰直角ABC 的内部,BAC=90,OA=1,BC=6,则O 的半径为 世纪金榜导学号 18574100( )A.2 B. C.4 D.33 13 2【解析】选 B.延长 AO交 BC于点 D,连接 OB,AB=AC,ADBC,BD= BC=3,12ABC 是等腰直角三角形,AD=BD=3,OD=2,OB= = .B2+2 13【母题变式】(2017河北模拟)如图,AB 是O 的弦,已知OAB=30,AB=4,则O 的半径为( )A.4 B.2 C.2 D.3433- 7 -【解析】选 D.作 OCAB 于点 C,则 AC= AB=2,12OAB=30,OA= = = .A232433
