1、- 1 -相似三角形的判定一课一练基础闯关题组一 利用三边成比例判定两个三角形相似1.如果把一个三角形的每条边都扩大为原来的 3 倍,那么所得的三角形的每个角( )A.都扩大为原来的 3 倍 B.都扩大为原来的 6 倍C.都扩大为原来的 9 倍 D.都与原来相等【解析】选 D.根据题意得,扩大后的三角形与原三角形的三边对应成比例,所得的三角形与原三角形相似,三角形的每个角都与原来相等.2.(教材变形题P42 习题 27.2T3)如图,在大小为 44 的正方形网格中,是相似三角形的是( )A.和 B.和 C.和 D.和【解析】选 C.设每个小正方形的边长为 1,根据勾股定理计算出每一边的长度,长
2、短对应,则满足三边对应比值相等的两三角形相似,因此 ,2, , , ,3,2,2 ,2 ,3, ,4 ,所以与2 10 2 5 2 5 17 2相似.【知识归纳】网格中的三角形相似判别的方法1.设网格中小正方形的边长为 1,根据勾股定理分别计算出两个三角形的各边长.2.按由小到大顺序排列,计算出对应边的比值.3.根据比值是否相等判断两个三角形是否相似.3.已知,ABC 的三边分别为 6cm,7.5cm,9cm,DEF 的一边长为 4cm,当DEF 的另外两条边长是下列哪组时,这两个三角形相似 世纪金榜导学号 67994032( )A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cmC.5 cm,6
3、cm D.6 cm,7 cm【解析】选 C.设DEF 的另两边长为 xcm 和 ycm,若DEF 的 4cm 长的边与ABC 的 6cm 长的边对应,则 =64- 2 -= ,x=5,y=6.若DEF 的 4cm 长的边与ABC 的 7.5cm 长的边对应,则 = = ,x= ,y= .7.5 9 67.54 9 165 245若DEF 的 4cm 长的边与ABC 的 9cm 长的边对应,则 = = ,x= ,y= ,故选 C.67.594 83 1034.如图,在正方形网格上,与ABC 相似的三角形是( )世纪金榜导学号 67994033A.AFDB.AEDC.FEDD.不能确定【解析】选
4、A.设方格中每个小正方形的边长为 1,则ABC 的三边长分别为 2,2 ,2 ,AFD 的三边分2 5别为 4,4 和 4 ,而 = = = ,ABCAFD.2 5242242254512【变式训练】如图,在正方形网格上,若使ABCPBD,则点 P 应在_.【解析】若使ABCPBD,需 = = ,PPB又 BD=4 ,BC=2 , = =2,PB=2AB=4,5 5PP- 3 -PD=2AC=4 ,故 P 应在 P3上.2答案:P 35.如图,若 = = ,则DAB=_.AAB世纪金榜导学号 67994034【解析】 = = ,ABCADE,AABDAE=BAC,DAE-BAE=BAC-BAE
5、,DAB=EAC.答案:EAC【方法技巧】已知三边长判定两个三角形是否相似的方法(1)计算:分别计算每个三角形三边的比(按从小到大的顺序).(2)判断:若两个三角形三边的比相等,则三角形相似,否则不相似.6.如图,A(1,0),B(3,0),C(0,3),D(2,-1),P(2,2).世纪金榜导学号 67994035(1)问:ABC 与ADP 相似吗?说明理由.(2)点 D 关于 y 轴的对称点为 D,连接 AD,CD.判断ACD的形状,并说明理由.【解析】(1)相似.理由如下:由已知得 AB=2,BC=3 ,AC= ,AD= ,PD=3, 2 10 2- 4 -AP= , = , = , =
6、 ,即 = = .ABCADP.5A2B2C2 ABC(2)ACD是等腰直角三角形.理由如下:AC=AD= ,CD=2 ,CD 2=AC2+AD 2.ACD是等腰直角三角形.10 5题组二 利用两边成比例和夹角相等判定两个三角形相似1.能判定ABC 与ABC相似的条件是( )A. =AAB. = ,且A=CAAC. = ,且B=AAAD. = ,且B=BAA【解析】选 C.AB 与 BC 的夹角为B,AB与 AC的夹角为A,故当 = ,且B=A时,AAABC 与ABC相似.2.下列 44 的正方形网格中,小正方形的边长均为 1,三角形的顶点都在格点上,则与ABC 相似的三角形所在的网格图形是(
7、 )【解析】选 D.ABC 为直角三角形,且两直角边 = = ,选项 A,B 中的三角形不为直角三角形;选项B22212- 5 -C 中的三角形为直角三角形,但两直角边之比为 ;选项 D 中的三角形为直角三角形,且两直角边之比为 =23 24.123.如图,用两根等长的钢条 AC 和 BD 交叉构成一个卡钳,可以用来测量工作内槽的宽度,设 = =m,且OO量得 CD=b,则内糟的宽 AB 等于( )世纪金榜导学号 67994036A.mb B.mC. D.b b+1【解析】选 A. = =m,COD=AOB,OOCODAOB, = = =m,OOA又CD=b,AB=mb.4.如图,在ABC 中
8、,CD 是边 AB 上的高,且 = .AC世纪金榜导学号 67994037(1)求证:ACDCBD.- 6 -(2)求ACB 的大小.【解析】(1)CD 是边 AB 上的高,ADC=CDB=90, = ,ACDCBD.AC(2)ACDCBD,A=BCD,在ACD 中,ADC=90,A+ACD=90,BCD+ACD=90,即ACB=90.【变式训练】已知:如图,P 为ABC 中线 AD 上的一点,且 BD2=PDAD,求证:ADCCDP.【证明】BD 2=PDAD, = .BABD=CD, = .CPPDC=CDA,ADCCDP.5.如图,在ABC 中,AD,BE 分别是 BC,AC 边上的高,
9、C=60.世纪金榜导学号 67994038求证:(1)DCEACB.(2)DE= AB.12【证明】(1)ADBC,ADC=90,- 7 -又C=60,CAD=30,CD= AC,12同理 CE= BC,12 = = ,又C=C,CC12DCEACB.(2)由(1)得DCEACB, = = ,DE= AB.DC12 126.如图,点 C,D 在线段 AB 上,且PCD 是等边三角形.世纪金榜导学号 67994039(1)当 AC,CD,DB 满足怎样的关系时,ACPPDB.(2)当PDBACP 时,试求APB 的度数.【解析】(1)PCD 为等边三角形,PC=CD=PD,PCD=PDC=CPD
10、=60,PCA=PDB=120.当 = 时,ACPPDB,AC = ,CD 2=ACDB.AC即当 CD2=ACDB 时,ACPPDB.(2)ACPPDB,BPD=A,APC+BPD=APC+A=PCD=60,APB=(APC+BPD)+CPD=60+60=120.- 8 -如图,已知在ABC 中,AB=6,AC=4,点 P 是 AC 的中点,过 P 的直线交 AB 于 Q,若想得到以 A,P,Q 为顶点的三角形与ABC 相似,求 AQ 的长.【解析】(1)若 AP 与 AC 对应,PAQ=CAB,则需 = ,即 = ,AA24A6AQ=3.(2)若 AP 与 AB 对应,则需 = ,即 =
11、,AA26A4AQ= ,43AQ 的长为 3 或 .43【母题变式】如图,RtABC 中,ACB=90,AC=6cm,BC=8cm,动点 P 从点 B 出发,在 BA 边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动,同时动点 Q 从点 C 出发,在 CB 边上以每秒 4cm 的速度向点 B 匀速运动,运动时间为t 秒(0t2),连接 PQ.当 t 为何值时,BPQ 与ABC 相似.【解析】ACB=90,AC=6,BC=8,AB=10.BPQ 与ABC 有公共角B,故当 = 或 = 时,BPQ 与ABC 相似;当 = 时,BBBB BB- 9 -即 = ,t=1;当 = 时,即 = ,510848
12、 BB 588410t= ,当 t=1 或 时,BPQ 与ABC 相似.3241 3241(2017陇西南安中学月考)如图,在平面直角坐标系内,已知点 A(0,6),点 B(8,0).动点 P 从 A 开始在线段AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动,同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动,设点 P,Q 移动的时间为 t 秒.当一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当 t 为何值时,APQ 与AOB 相似,并求出此时点 P 的坐标.【解析】AOB=90,点 A,B 的坐标分别为(0,6)和(8,0),AB= =10.62+82PAQ=OAB,当 = 或 = 时,AAAAAPQ 与AOB 相似.若 = ,即 = ,t= ,AAt610210 3011点 P 的坐标为 .(0,3611)若 = ,即 = ,t= ,AA t101026 5013点 P 的坐标为 .(0,2813)- 9 -
