1、- 1 -相似三角形的判定一课一练基础闯关题组一 利用两角分别相等判定两个三角形相似1.如图,下列条件不能判定ADBABC 的是( )世纪金榜导学号 67994040A.ABD=ACBB.ADB=ABCC.AB2=ADACD. =AA【解析】选 D.在ADB 和ABC 中,A 是它们的公共角,那么当 = 时,才能使ADBABC,不是AA= .AA2.如图,在三角形 ABC中,AB=AC,A=36,BD 平分ABC,DEBC,那么ABC 中相似的三角形有( )A.1对 B.2对 C.3对 D.4对【解析】选 D.DEBC,ADEACB.又A=36,AB=AC,ABC=C=72.又BD 平分ABC
2、,- 2 -ABD=CBD=36,ABCBDC,BDCAED.又EDB=A=36,ABD=DBE,ABDDBE,故共有 4对相似的三角形.3.(2017深圳中考)如图,在 RtABC 中,ABC=90,AB=3,BC=4,在 RtMPN 中,MPN=90,点 P在 AC上,PM 交 AB于点 E,PN交 BC于点 F,当 PE=2PF时,AP=_. 世纪金榜导学号 67994041【解析】如图,作 PQAB 于点 Q,PRBC 于点 R,由等量代换,易得QPE=RPF,QPERPF.PE=2PF,PQ=2PR=2BQ,显然AQPABC,AQQPAP=ABBCAC=345,记 PQ=4x,则 A
3、Q=3x,AP=5x,PR=BQ=2x,AB=AQ+BQ=3x+2x=5x=3,解得 x= ,35AP=5x=5 =3.35答案:34.如图,ABC 内接于O,AD 是ABC 的边 BC上的高,AE 是O 的直径,连接 BE,ABE 与ADC 相似吗?请- 3 -证明你的结论. 世纪金榜导学号 67994042【解析】ABE 与ADC 相似.证明如下:在ABE 与ADC 中,AE 是O 的直径,ABE=90.AD 是ABC 的边 BC上的高,ADC=90,ABE=ADC.又同弧所对的圆周角相等,BEA=DCA.ABEADC.【变式训练】如图,弦 AB和 CD相交于O 内一点 P,求证:PAPB
4、=PCPD.【证明】连接 AC,BD,C=B,A=D,ACPDBP, = ,PAPB=PCPD.PP【知识归纳】证明等积式的思路1.先把等积式转化成比例式.2.应用三点定形法确定所需证明相似的三角形:(1)横向定形:观察比例式的分子和分母,根据各自两条线段中不同的三个字母确定要证的三角形.- 4 -(2)纵向定形:等号左右两边的分子、分母所包含的不同的三个字母进行定形.(3)若出现四个字母或三个字母所表示的点在同一条直线上,则考虑通过相等的线段进行转化.3.证明所确定的三角形相似.5.(2017宿迁中考)如图,在ABC 中,AB=AC,点 E在边 BC上移动(点 E不与点 B,C重合),满足D
5、EF=B,且点 D,F分别在边 AB,AC上. 世纪金榜导学号 67994043(1)求证:BDECEF.(2)当点 E移动到 BC的中点时,求证:FE 平分DFC.【证明】(1)AB=AC,B=C,BDE=180-B-DEB,CEF=180-DEF-DEB,DEF=B,BDE=CEF,BDECEF.(2)BDECEF, = ,BD点 E是 BC的中点,BE=CE, = ,DEF=B=C,DEFECF,CDDFE=CFE,FE 平分DFC.题组二 直角三角形相似的判定1.在ABC 和A 1B1C1中,A=A 1=90,添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )A.B=B 1 B. =A11A
6、11C. = D. =A11B11 A11A11【解析】选 D.选项 A,具备两角分别相等;选项 B,具备两边成比例且夹角相等;选项 C,具备斜边和一条直角边对应成比例;而选项 D中,AB 与 B1C1不是对应边.- 5 -2.如图,已知ACB=CBD=90,BC=a,AC=b,要使CDBABC,则 CD的长度为( )A. B.a2 b2C. D.b2+2 a2+2【解析】选 D.ACB=CBD=90,若使CDBABC,须 = ,CC = ,CD= .C2+2a a2+23.如图,在正方形 ABCD中,点 E是 BC的中点,点 F是 CD上一点,且 CF= CD,下列结论:BAE=30;14A
7、BEAEF;AEEF;ADFECF.其中正确结论的个数为 世纪金榜导学号 67994044( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 B.E 为 BC的中点,四边形 ABCD为正方形,BE= AB,BAE=30错误.12B=C=90, = = ,BC12- 6 -ABEECF, = = ,EE12BAE=CEF,又BAE+BEA=90,CEF+BEA=90,AEF=90,ABEAEF,故正确,正确. = , = .D34C12 ,错误.DC4.如图,ACAB,BEAB,AB=10,AC=2,用一块直角三角板进行如下操作:将直角顶点 P在线段 AB上滑动,一直角边始终经过点 C,另一直角边与
8、 BE相交于点 D,若 BD=8,则 AP的长为_. 世纪金榜导学号67994045【解析】ACAB,BEAB,A=B=90,又CPD=90,APC+BPD=90,而APC+ACP=90,BPD=ACP,ACPBPD, = ,设 AP=x,则 BP=10-x, = ,AA 210x8x 1=2,x2=8.答案:2 或 8【变式训练】如图,在矩形 ABCD中,AB= ,AD=5,在 AD上是否存在一点 P,使6BPC=90?如果存在,试求出 AP的长;若不存在,请说明理由.- 7 -【解析】在 AD上存在一点 P,使BPC=90.理由如下:A=D=90,当 = 时,ABPDPC,AAAPB=DC
9、P,而DPC+DCP=90,APB+DPC=90,BPC=90,设 AP=x,则 PD=5-x, = ,x 1=2,x2=3,x6 65当 AP=2或 3时,BPC=90.5.如图,在 RtACB 和 RtADC 中,B=ACD=90,AD=8,AB=2,BC=2 . 世纪金榜导学号 679940463求证:RtACBRtADC.【证明】在 RtACB 中,B=90,AB=2,BC=2 ,3由勾股定理,得 AC= = =4.A2+ 2 22+(23)2 = = , = = ,A2412A4812 = .AARtACBRtADC.【知识归纳】关于图形 的四个常用结论- 8 -(1)ACDABC
10、= AC2=ADAB.AA(2)BCDBAC = BC2=BDBA.BB(3)ACDCBD = CD2=ADBD.CA(4) ACBC=ABCD.S=12=12在ABC 中,P 为边 AB上一点.如图 1,若ACP=B,求证:AC 2=APAB.世纪金榜导学号 67994047【解析】ACP=B,CAP=BAC,ACPABC,ACAB=APAC,AC 2=APAB.【母题变式】若 M为 CP的中点,AC=2,如图 2,若PBM=ACP,AB=3,求 BP的长;如图 3,若ABC=45,A=BMP=60,写出 BP的长.【解析】如图,作 CQBM,交 AB延长线于点 Q,设 BP=x,则 PQ=
11、2x.- 9 -BMCQ,PBM=Q,又PBM=ACP,ACP=Q,又PAC=CAQ,APCACQ, = ,AA即 AC2=APAQ,所以 22=(3-x)(3+x),x= ,5即 BP= .5如图,作 CQAB 于点 Q,作 CP0=CP交 AB于点 P0,AC=2,AQ=1,CQ=BQ= ,设 AP0=a,则 P0Q=PQ=1-a,BP= -1+a,BPM=CP 0A,BMP=CAP 0,3 3AP 0CMPB, = ,MPP 0C= P0C2= =AP0BP=a( -1+a),解得 a=A0P0 12 ( 3)2+(1)22 3- ,BP= -1+ - = -1.7 3 3 7 3 7- 9 -
