1、- 1 -平面向量的实际背景及基本概念分层训练进阶冲关A 组 基础练(建议用时 20 分钟)1.下列说法中正确的个数是 ( B )(1)身高是一个向量.(2)AOB 的两条边都是向量.(3)物理学中的加速度是向量.A.0 B.1 C.2 D.32.若|a|=|b|,那么要使 a=b,两向量还需要具备 ( B )A.方向相反 B.方向相同C.共线 D.方向任意3.如图所示,A,B,C 是O 上的点,则向量 , , 是 ( C )A.有相同起点的向量 B.方向相同的向量C.模相等的向量 D.相等的向量4.下列命题中正确的个数为 ( B )两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同;若非零向量 a
2、与 b 共线,则 a=b;四边形 ABCD 是平行四边形,则必有| |=| |;ab,则 a,b 方向相同或相反.A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个5.若| |=| |且 = ,则四边形 ABCD 的形状为 ( C )A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.等腰梯形- 2 -6.如图所示,点 C,D 是线段 AB 的三等分点,分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量有 ( B )A.3 个 B.6 个 C.8 个 D.12 个7.如图所示,已知正方形 ABCD 边长为 2,O 为其中心,则| |= . 8.已知 A=与 a 共线的向量,B=与 a 长度相等的向量,C=与 a
3、长度相等,方向相反的向量,其中 a 为非零向量,则命题:CA;AB=a;C B 中错误的是 . 9.已知 A,B,C 是不共线的三点,向量 m 与向量 是平行向量,与 是共线向量,则 m= 0 . 10.如图,四边形 ABCD 为等腰梯形,有下列结论: 与 是共线向量; = ; .其中正确的结论有 0 个. 11.如图所示,已知四边形 ABCD 和四边形 ABDE 都是平行四边形.(1)与 相等的向量有哪些?(2)与 共线的向量有哪些?(3)若| |=1.5,求| |的大小.【解析】(1)与 相等的向量即与 同向且等长的向量,有 , .(2)与 共线的向量即与 方向相同或相反的向量,有 , ,
4、 , , , , .- 3 -(3)若| |=1.5,则| |=| |=| |+| |=2| |=3.12.如图,正方体 ABCD-ABCD的棱长为 1,求向量 的模、 的模以及 的模.【解析】因为正方体 ABCD-ABCD的棱长为 1,所以| |=1,| |= = ,| |= = = .B 组 提升练(建议用时 20 分钟)13.下列说法正确的是 ( C )A.若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等且方向相同或相反B.若向量 , 满足| | |,且 与 同向,则 C.若 ab,则 a 与 b 可能是共线向量D.若 = ,则 A 与 C 重合,B 与 D 重合.14.如图,在菱形 ABCD
5、中,DAB=120,则以下说法错误的是 ( D )A.与 相等的向量只有一个(不含 )B.与 的模相等的向量有 9 个(不含 )C. 的模恰为 的模的 倍D. 与 不共线15.给出以下五个条件:a=b;|a|=|b|;a 与 b 的方向相反;|a|=0 或|b|=0;a 与 b 都是单位向量.其中能使 ab 成立的是 . 16.如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,四边形 ABDE 是矩形,则图中与向量 相等的向量是 和 . - 4 -17.已知飞机从 A 地按北偏东 30方向飞行 2 000 km 到达 B 地,再从 B 地按南偏东 30方向飞行 2 000 km 到达 C 地,再从 C
6、 地按西南方向飞行 1 000 km 到达 D 地.画图表示向量 , ,并指出向量 的模和方向.【解析】以 A 为原点,正东方向为 x 轴正方向,正北方向为 y 轴正方向建立直角坐标系.据题设,B 点在第一象限,C 点在 x 轴正半轴上,D 点在第四象限,向量 , , 如图所示,由已知可得,ABC 为正三角形,所以 AC=2 000 km.又ACD=45,CD=1 000 km,所以ADC 为等腰直角三角形,所以 AD=1 000 km,CAD=45.故向量 的模为 1 000 km,方向为东南方向.18.如图,已知 = = .求证:(1)ABCABC.(2) = , = .【证明】(1)因为
7、 = ,所以| |=| |,且 .又因为 A 不在 上,所以 AABB.所以四边形 AABB 是平行四边形.- 5 -所以| |=| |.同理| |=| |,| |=| |.所以ABCABC.(2)因为四边形 AABB 是平行四边形,所以 ,且| |=| |.所以 = .同理可证, = .C 组 培优练(建议用时 15 分钟)19.已知向量 a,b 是两个非零向量, , 分别是与 a,b 同方向的单位向量,则以下各式正确的是 ( D )A. =B. = 或 =C. = D. 与 的长度相等20.如图所示,已知四边形 ABCD 中,M,N 分别是 BC,AD 的中点,又 = 且 = ,求证:= .【证明】因为 = ,所以| |=| |且 ABDC,所以四边形 ABCD 是平行四边形,所以| |=| |且 DACB.又因为 与 的方向相同,所以 = .同理可证,四边形 CNAM 是平行四边形,所以 = .因为| |=| |,| |=| |,- 6 -所以| |=| |.又 与 的方向相同,所以 = .
