1、3.4 幂函数与二次函数,第三章 函数概念与基本初等函数,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较,yx,知识梳理,ZHISHISHULI,x|x0,x|x0,y|y0,y|y0,y|y0,(，0,(0，),0，),奇,偶,奇,非奇非偶,奇,(，0),(0，),(1,1),2.二次函数的图象和性质,R,R,1.二次函数的解析式有哪些常用形式？,提示 (1)一般式：yax2bxc(
2、a0)； (2)顶点式：ya(xm)2n(a0)； (3)零点式：ya(xx1)(xx2)(a0).,2.已知f(x)ax2bxc(a0)，写出f(x)0恒成立的条件.,提示 a0且0.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二次函数yax2bxc(a0)，xa，b的最值一定是 ( ) (2)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( ) (3)函数y 是幂函数.( ) (4)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)( ) (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.( ) (6
3、)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,3.P44A组T9已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是 A.a3 B.a3 C.a3 D.a3,解析 函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧， 2a6，解得a3，故选D.,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,4.幂函数f(x) (aZ)为偶函数，且f(x)在区间(0，)上是减函数，则a等于 A.3 B.4 C.5 D
4、.6,解析 因为a210a23(a5)22， f(x) (aZ)为偶函数， 且在区间(0，)上是减函数， 所以(a5)220，从而a4,5,6， 又(a5)22为偶数，所以只能是a5，故选C.,1,2,3,4,5,6,5.已知函数y2x26x3，x1,1，则y的最小值是_.,1,1,2,3,4,5,6,函数y2x26x3在1,1上单调递减， ymin2631.,6.设二次函数f(x)x2xa(a0)，若f(m)”“”或“”),且f(1)0，f(0)0，而f(m)0.,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 幂函数的图象和性质,1.若幂函数的图象经过点 则它的单
5、调递增区间是 A.(0，) B.0，) C.(，) D.(，0),自主演练,即f(x)x2， 它是偶函数，单调递增区间是(，0).故选D.,2.若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是 A.dcba B.abcd C.dcab D.abdc,解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大， 函数图象越接近x轴，由题图知abcd，故选B.,3.已知幂函数f(x)(n22n2) (nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为 A.3 B.1 C.2 D.1或2,解析 由于f(x)为幂函数，所以n22n21， 解得
6、n1或n3， 经检验只有n1符合题意，故选B.,4.若(a1) (32a) ，则实数a的取值范围是_.,解析 不等式(a1) 32a0或32aa10或a1032a，,(1)幂函数的形式是yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.,题型二 求二次函数的解析式,例1 (1)已知二次函数f(x)x2bxc满足
7、f(0)3，对xR，都有f(1x)f(1x)成立，则f(x)的解析式为_.,解析 由f(0)3，得c3，又f(1x)f(1x)， 函数f(x)的图象关于直线x1对称，,师生共研,f(x)x22x3,f(x)x22x3.,(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1，则f(x)_.,x22x,解析 设函数的解析式为f(x)ax(x2)(a0)，,得a1，所以f(x)x22x.,求二次函数解析式的方法,跟踪训练1 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR，a0)，xR，若函数f(x)的最小值为f(1)0，则f(x)_.,x22x1,解析 设函数f(x)
8、的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa(a0)， 又f(x)ax2bx1，所以a1， 故f(x)x22x1.,(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_.,x24x3,解析 因为f(2x)f(2x)对任意xR恒成立， 所以f(x)图象的对称轴为直线x2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， 所以f(x)0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)， 又f(x)的图象过点(4,3)，所以3a3，即a1， 所以f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)，即f(x)x2
9、4x3.,题型三 二次函数的图象和性质,命题点1 二次函数的图象,例2 一次函数yaxb(a0)与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图象大致是,多维探究,解析 若a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图象开口向上，故可排除A； 若a0，一次函数yaxb为减函数，二次函数yax2bxc的图象开口向下，故可排除D；,命题点2 二次函数的单调性,例3 函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是 A.3,0) B.(，3 C.2,0 D.3,0,解析 当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意.,解得3a0.综上，a的取值范围为3,0.
10、,若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.,3,解析 由题意知f(x)必为二次函数且a0，,命题点3 二次函数的最值 例4 已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，求实数a的值.,解 f(x)a(x1)21a. (1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，,(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.,将本例改为：求函数f(x)x22ax1在区间1,2上的最大值.,解 f(x)(xa)21a2， f(x)的
11、图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa.,解析 设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1，得c1， 又f(x1)f(x)2x，得2axab2x，所以a1，b1， 所以f(x)x2x1.f(x)2xm在区间1,1上恒成立， 即x23x1m0在1,1上恒成立，,命题点4 二次函数中的恒成立问题 例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1，若不等式f(x)2xm在区间1,1上恒成立，则实数m的取值范围为_.,(，1),所以g(x)ming(1)131m0，所以m1.,(2)函数f(x)a2x3ax2(a1)，若在区间1,1上f(x)8恒成立，则a的最大值为_.,2,所
12、以f(x)8恒成立，即g(t)maxg(a)8恒成立， 所以有a23a28， 解得5a2，又a1，所以a的最大值为2.,解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论； (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解). (3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.,跟踪训练2 (1)函数yx2bxc(x0，)是单调函数的充要条件是 A.b0 B.b0 C.b0 D.b0,解析 函数y
13、x2bxc(x0，)是单调函数，,(2)(2018浙江名校协作体联考)y 的值域为0，)，则a的取值范围是 A.(2，) B.(，1)(2，) C.1,2 D.0,2,解析 由已知，t2ax24xa1取遍0，)上的所有实数， 当a0时，t4x1能取遍0，)上的所有实数，,解得0a2.综上，0a2.,(3)设函数f(x)ax22x2，对于满足10，则实数a的取值范围为_.,研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论. 例 设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值.,思想方法,SIXIANGFANGFA,数形结合思
14、想和分类讨论思想在二次函数中的应用,解 f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1. 当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数， 所以最小值为f(t1)t21； 当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；,当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数， 所以最小值为f(t)t22t2.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.幂函数y (mZ)的图象如图所示，
15、则m的值为 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 y (mZ)的图象与坐标轴没有交点， m24m0，即0m4. 又函数的图象关于y轴对称且mZ， m24m为偶数，m2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.若幂函数f(x)(m24m4) 在(0，)上为增函数，则m的值为 A.1或3 B.1 C.3 D.2,解析 由题意得m24m41，m26m80， 解得m1.,3.若命题“ax22ax30恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是 A.a3 D.0a3,解析 若ax22ax30恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,
16、15,16,故当命题“ax22ax30恒成立”是假命题时，a0或a3.,4.已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则 A.a0,4ab0 B.a0,2ab0 D.a0,2ab0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由f(0)f(4)，,4ab0，又f(0)f(1)，f(4)f(1)， f(x)先减后增，于是a0，故选A.,5.函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)上单调递增，则f(2x)0的解集为 A.x|22或x4或x0,解析 函数f(x)ax2(b2a)x2b为偶函数，则b2a0， 故f(x)a
17、x24aa(x2)(x2)， 因为函数f(x)在(0，)上单调递增，所以a0. 根据二次函数的性质可知， 不等式f(2x)0的解集为x|2x2或2x4，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,PRQ,8.(2018台州路桥中学检测)已知幂函数yf(x)的图象过点(2， )，则f(9)_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3,所以f(9) 3.,9.
18、设函数f(x)2x24x在区间m，n上的值域是6，2，则mn的取值范围是_.,0,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 令f(x)6，得x1或x3； 令f(x)2，得x1.又f(x)在1,1上单调递增， 在1,3上单调递减， 当m1，n1时， mn取得最小值0； 当m1，n3时，mn取得最大值4.,10.已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为函数图象开口向上，,11.(2018湖州期中)已知函数f(x
19、)x2|x2ax2|，a为实数. (1)当a1时，求函数f(x)在0,3上的最小值和最大值；,解 当a1时，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)在0,3上的最大值为f(3)5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若函数f(x)在(，1)和(2，)上单调递增，求实数a的取值范围.,解 令x2ax20，a280，,若函数f(x)在(，1)和(2，)上单调递增，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2019台州质量评估)已知a0，bR，函数f(x)4
20、ax22bxab，x0,1. (1)当ab2时，求函数f(x)的最大值；,解 ab2，,当x1时，f(x)max4.,(2)证明：函数f(x)的最大值为|2ab|a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)maxf(1)4a2bab3ab|2ab|a；,f(x)maxf(0)ba|2ab|a. 函数f(x)的最大值为|2ab|a.,13.如图是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分，图象过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论： b24ac； 2ab1； abc0； 5ab. 其中正确的是 A. B. C. D.,技能提升练,1,2,
21、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确；,结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误； 由对称轴为x1知，b2a.又函数图象开口向下， 所以a0，所以5a2a，即5ab，正确.,14.已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由于函数f(x)x22tx
22、1的图象的对称轴为xt， 函数f(x)x22tx1在区间(，1上递减， t1. 当x0，t1时，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21， 要使对任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值).记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB等于 A.16
23、 B.16 C.a22a16 D.a22a16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 令f(x)g(x)，即x22(a2)xa2x22(a2)xa28， 即x22axa240，解得xa2或xa2. f(x)与g(x)的图象如图.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由题意知H1(x)的最小值是f(a2)， H2(x)的最大值为g(a2)， 故ABf(a2)g(a2) (a2)22(a2)2a2(a2)22(a2)2a2816.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.若函数f(x)x2a|x1|在0，)上单调递增，求实数a的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当x1，)时，,当x(，1)时，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,综上，a的取值范围是0,2.,
