1、6.3 平面向量的数量积,第六章 平面向量、复数,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作 a， b，则 就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是 .,ZHISHISHULI,AOB,0，,2.平面向量的数量积,|a|b|cos ,|a|cos ,|b|cos ,|b|cos ,3.向量数量积的运算律 (1)abba. (2)(a)b(ab) . (3)(ab)c .,a(b),acbc,4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a(x1，y1)，b(x2
2、，y2)，a与b的夹角为.,ab0,x1x2y1y20,1.a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？,【概念方法微思考】,提示 不相同.因为a在b方向上的投影为|a|cos ，而b在a方向上的投影为|b|cos ，其中为a与b的夹角.,2.两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？,提示 不一定.当夹角为0时，数量积也大于0.,基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(
3、 ) (3)由ab0可得a0或b0.( ) (4)(ab)ca(bc).( ) (5)两个向量的夹角的范围是 .( ) (6)若ab0，则a和b的夹角为钝角.( ),题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,2.P105例4已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_.,解析 2ab(4,2)(1，k)(5,2k)， 由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0， 102k0，解得k12.,12,1,2,3,4,5,6,解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为 |b|cos 4cos 1202.,3.P106T3已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向
4、上的投影为_.,-2,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 4.已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.,方法二 (数形结合法) 由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a又AOB60，,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,解析 a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 平面向量数量积的基本运算,自主演练,1.已知a(x,1)，b(2,4)，若(ab)b，则x等于 A.8 B.10 C.11 D.12,解析 a(x,1)，b(2,4)， ab(x2,5)， 又(ab
5、)b， (x2)(2)200， x12.,2.(2018全国)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)等于 A.4 B.3 C.2 D.0,解析 a(2ab)2a2ab2|a|2ab. |a|1，ab1， 原式21213.,16,平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解.,题型二 平面向量的模,师生共研,a2b245，,解析 设a，b的夹角为，|a|1，|b|2，,0，cos2
6、0,1， y216,20，,(2)(2017浙江)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_.,4,计算平面向量模的方法 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a|2a2aa； (2)|ab|2(ab)2a22abb2；,跟踪训练1 (1)(2014浙江)设为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|bta|的最小值为1，则 A.若确定，则|a|唯一确定 B.若确定，则|b|唯一确定 C.若|a|确定，则唯一确定 D.若|b|确定，则唯一确定,解析 |bta|2b22abtt2a2 |a|2t22|a|b|cos t
7、|b|2. 因为|bta|min1，,即确定，|b|唯一确定.,解析 方法一 设abm，a3bn，,所以16a2(3mn)29m2n26mn944622cos 4024cos ，其中为向量m，n的夹角，cos 1,1，4024cos 16,64， 即a21,4，所以|a|的取值范围是1,2. 方法二 由|ab|2得a2b22ab4，由|a3b|2得a29b26ab4， 所以a23b24，b2ab0，设向量a，b的夹角为， 所以|b|a|cos ，cos 0,1，所以|b|a|，a23b24a2，即4a24， 所以|a|1，又a24，所以1|a|2，故|a|的取值范围是1,2.,(2)(2018
8、丽水、衢州、湖州三地市质检)已知向量a，b满足|ab|a3b|2，则|a|的取值范围是_.,1,2,题型三 平面向量的夹角,师生共研,例2 (1)(2018浙江高考适应性考试)若向量a，b满足|a|4，|b|1，且(a8b)a，则向量a，b的夹角为,解析 由(a8b)a，得|a|28ab0， 因为|a|4，所以ab2，,解析 由题意知|e1|e2|1，e1e20，,求平面向量的夹角的方法,跟踪训练2 (1)(2011浙江)若平面向量，满足|1，|1，且以向量， 为邻边的平行四边形的面积为 ，则与的夹角的取值范围是_.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,
9、8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.已知a，b为非零向量，则“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析 根据向量数量积的定义式可知，若ab0， 则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有ab0， 所以“ab0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018台州调研)已知向量a(2,1)，b(1,3)，则向量2ab与a的夹角为 A.135 B.60 C.45 D.30,解析 由题意可得2
10、ab2(2,1)(1,3)(3，1)，,且(2ab)a(3，1)(2,1)615， 设所求向量的夹角为，由题意可得,则向量2ab与a的夹角为45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则(ab)2a2b22ab 52ab5， 可得ab0，结合|a|1，|b|2， 可得(2ab)24a2b24ab448，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0， 所以AB与AC垂直，所以ABC为直角三角形. 以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系
11、，如图所示， 则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知两个单位向量a和b的夹角为60，则向量ab在向量a方向上的投影为,解析 由题意可得 |a|b|1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由|ab|6， 得|a|22ab|b|236， ,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,得|a|22ab|b|212， 由得|a|2|b|224，且ab
12、6，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 (ab)babb27， ab7b23. 设向量a与b的夹角为，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是 _.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由(ab)2b2|a|3，得(ab)2b2|a|22ab|b|2|b|292ab3，解得ab3，,10.(2018温州市高
13、考适应性测试)若向量a，b满足(ab)2b2|a|3，且 |b|2，则a在b方向上的投影的取值范围是_.,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 因为(2a3b)(2ab)61， 所以4|a|24ab3|b|261. 又|a|4，|b|3， 所以644ab2761， 所以ab6，,11.已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61. (1)求a与b的夹角；,6,1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 |ab|2(ab)2|a|22ab|b|2 422(6)3213，,(2)求|ab|；,6,1,2,3,4,5,7
14、,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 方法一 设BC的中点为D，AD的中点为E，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,
15、6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018杭州质检)记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin.若平面向量a，b，c满足|a|b|abc(a2b2c)2.则,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即PFMQFM，则FM为PFQ的角平分线，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2019嘉兴质检)已知|c|2，向量b满足2|bc|bc.当b，c的夹角最大时，求|b|的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设OBm，BCn，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
