1、第2课时 概率,知识网络,要点梳理,超几何分布;二项分布;均值;方差;正态分布;3原则.,知识网络,要点梳理,1.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,则表称为离散型随机变量X的概率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质: pi0(i=1,2,n);p1+p2+pn=1.,知识网络,要点梳理,知识网络,要点梳理,3.事件的相互独立性 (1)对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A,B是相互独立事件. (2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P
2、(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.,知识网络,要点梳理,4.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的.,知识网络,要点梳理,知识网络,要点梳理,知识网络,要点梳理,7.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aEX+b. (2)D(aX+b)=a2DX(a,b为常数). 8.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).
3、(2)若XB(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).,知识网络,要点梳理,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.( ) (2)若随机变量X的分布列由下表给出,则它服从两点分布.( ) (3)在离散型随机变量的概率分布列中,各个概率之和可以小于1.( ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.( ) 答案:(1) (2) (3) (4),专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一 条件概率和相互独立事件的概率 【例1】 一个盒子装有4个产品,其中有
4、3个一等品、1个二等品,从中取产品两次,每次任取一个,做不放回抽样,设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A). 解将产品编号1,2,3号为一等品,4号为二等品,以(i,j)表示第一次,第二次分别取到第i号、第j号产品,则试验的样本空间为: =(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2),(4,3), A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4), AB=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),专
5、题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率; (2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,2.解决概率问题要注意“三个步骤,一个结合” (1)求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质; 第二步,判断事件的运算; 第三步,运用公式. (2)概率问题常常与排列组合问题相结合. 3.求解相互独立事件同时发生的概率时,要注意以下几个问题: (1)“P(
6、AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具. (2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题,务必分清事件间的相互关系. (3)公式 常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,跟踪训练1在某次1 500米体能测试中,甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为 (1)3人都通过体能测试的概率; (2)恰有2人通过体能测试的概率; (3)恰有1人通过体能测试的概率.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题二 离散型随机
7、变量的分布列 【例3】某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n位校友(n8且nN+),其中女校友6位,组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”. (1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于 ,求n的最大值; (2)当n=12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为X,求X的分布列.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,反思感悟 求离散型随机变量的分布列时,要解决以下两个问题: (1)求出X的所有取值,并明确其含义; (2)求出X取每一个值时
8、的概率. 求概率是难点,也是关键,一般要联系排列、组合知识,古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率等知识进行解决.同时还应注意超几何分布、二项分布等特殊分布模型.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,跟踪训练2某一随机变量X的分布列为:则mn的最大值为( ) A.0.8 B.0.2 C.0.08 D.0.6 解析:由分布列的性质知m(0,1),2n(0,1),且0.1+m+2n+0.1=1, 即m+2n=0.8. mn=(0.8-2n)n=0.8n-2n2=-2(n-0.2)2+0.08, 所以当n=0.2时,mn的最大值为0.08. 答案:C,专题归纳,高考体验,专题一,专题
9、二,专题三,专题四,专题三 离散型随机变量的均值与方差 【例4】一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字), (1)设随机变量表示一次掷得的点数和,求的分布列; (2)若连续投掷10次,设随机变量表示一次掷得的点数和大于5的次数,求E,D.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,反思感悟 1.含义:均值和方差分别反映了随机变量的平均水平及其稳定性. 2.应用范围:均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛,如同等资本下比较收益的高
10、低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等. 3.求解思路:应用时,先要将实际问题数学化,然后求出随机变量的概率分布列,同时要注意运用二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,跟踪训练3某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛,需要从两名选手中选出一人参加.为此,设计了一个挑选方案:选手从6道备选题中一次性随机抽取3题.通过考查得知:6道备选题中选手甲有4道题能够答对,2道题答错;选手乙答对每题的概率都是 ,且各题答对与否互不影响.设选手甲、选手乙答对的题数分别为,. (1)写出的概率分布列(不要求计算过程),并求出E,E
11、; (2)求D,D.请你根据得到的数据,建议该单位派哪个选手参加竞赛?,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,专题四 正态分布 【例5】 某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500,502),现有25 000名考生,试确定考生成绩在550600分的人数. 解考生成绩XN(500,502), =500,=50,反思感悟 1.有关正态分布概率的计算应转化为三个特殊区间内取值的概率,因此要熟记三个特殊区间及相应概率. 2.从正态曲线可以看出,曲线的形状由参数确定,越大,曲线越“矮胖”
12、;越小,曲线越“高瘦”.,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,跟踪训练4已知随机变量X服从正态分布N(,2),且P(-2X+2)=0.954,P(-X+)=0.683,若=4,=1,则P(5X6)=( ) A.0.135 8 B.0.135 5 C.0.271 6 D.0.271,专题归纳,高考体验,专题一,专题二,专题三,专题四,解析:由题意知XN(4,1),作出相应的正态曲线,如图,依题意P(2X6)=0.954,P(3X5)=0.683,即曲边梯形ABCD的面积为0.954,曲边梯形EFGH的面积为0.683,其中A,E,F,B的横坐标分别是2,3,5,6,由曲线关于直线
13、x=4对称,可知曲边梯形FBCG的面积为答案:B,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,考点一 条件概率与独立事件 1.(2015课标高考)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.答案:A,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,2.(2017天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设
14、各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为 (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2015课标高考)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73
15、 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户
16、的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,考点二 二项分布改编 4.(2017课标高考)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品
17、中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则DX= . 解析:由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即XB(100,0.02),其中p=0.02,n=100,则DX=np(1-p)=1000.020.98=1.96. 答案:1.96,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,5.(2015广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若EX=30,DX=20,则p= .,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,考点三 离散型随机变量的均值与方差 6.(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均
18、匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,7.(2017课标高考)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.
19、为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200n500. 当300n500时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间20
20、,25), 则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n;,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,若最高气温低于20, 则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n. 当200n300时, 若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20, 则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n. 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为
21、520元.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,8.(2016课标高考)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率; (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.,解(1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,
22、则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1, 故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,9.(2016课标高考)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:,专题归纳,
23、高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (1)求X的分布列; (2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0
24、.2,0.2. 从而P(X=16)=0.20.2=0.04; P(X=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24; P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2; P(X=21)=20.20.2=0.08; P(X=22)=0.20.2=0.04. 所以X的分布列为,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(
25、单位:元). 当n=19时, EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040. 当n=20时, EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080. 可知当n=19时所需费用的均值小于n=20时所需费用的均值,故应选n=19.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,10.(2016山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一
26、人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 ;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对3个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值EX.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,考点四 正态分布
27、 11.(2015湖北高考)设XN(1, ),YN(2, ),这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是( ) A.P(Y2)P(Y1) B.P(X2)P(X1) C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt) D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt) 解析:由曲线X的对称轴为x=1,曲线Y的对称轴为x=2,可知21.P(Y2)P(X1),故B错;对任意正数t,由题中图像知,P(Xt)P(Yt),故C正确,D错. 答案:C,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,12.(2015山东高考)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中
28、随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%.) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案:B,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,13.(2017课标高考)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服
29、从正态分布N(,2). (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,解(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.99
30、7 4,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 6,故XB(16,0.002 6).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 4160.040 8. X的数学期望为EX=160.002 6=0.041 6. (2)()如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.,专题归纳,高考体验,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,
