1、18.3 正态分布曲线读教材填要点1正态曲线及其特点(1)正态曲线的概念：函数 p(x) e x 222 ， x(，)，其中实数 ， ( 0)为参数，12 我们称 p(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的特点曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 x 对称； p(x)在 x 处达到最大值 ；12 当 一定时，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移；当 一定时， 越大，正态曲线越扁平； 越小，正态曲线越尖陡；曲线与 x 轴之间所夹的面积等于 1.2标准正态分布随机变量 X 为服务从参数为 和 2的正态分布，简记为 X N( ， 2)特别当 0， 21 时
2、称为标准正态分布，其密度函数记为 (x) e x22 12( ，1 22 1 22 1c1) P(Xc1) P(X1.26)；(3)P(0.511.26)1 P(X1.26)10.896 20.103 8.(3)P(0.512)0.023，求 P(2 X2)解：因为随机变量 X N(0， 2)，所以正态曲线关于直线 x0 对称又 P(X2)0.023，所以 P(X2) P(X4)，所以 P(X4)1 P(X4)10.20.8.解题高手 妙解题某厂生产的圆柱形零件的外直径 N(4,0.25)质检人员从该厂生产的 1000 件这种6零件中随机抽查一件，测得它的外直径为 5.7 cm.试问该厂生产的
3、这批零件是否合格？尝试 巧思 要判断这批零件是否合格，由假设检验的基本思想可知，关键是看随机抽查的一件零件的外直径是在区间( 3 ， 3 )之内，还是在区间( 3 ， 3 )之外若该零件的外直径在区间( 3 ， 3 )之间，则认为该厂这批零件是合格的，否则，就认为该厂这批零件是不合格的妙解 由于圆柱形零件的外直径 N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布 N(4,0.25)在区间(430.5,430.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有 0.0026，而 5.7(2.5,5.5)这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零
4、件是不合格的1正态分布密度函数为 ， (x) e x28 ， x(，)，则总体的平均数18和标准差分别是( )A0 和 8 B0 和 4C0 和 2 D0 和 2解析：选 C 由条件可知 0， 2.2右图是当 X 取三个不同值 X1， X2， X3的三种正态曲线 N(0， 2)的图像，那么 1， 2， 3的大小关系是( ) A 11 2 30B0 21 30D04)0.2，而 P(X4) P(X3) (10.683)0.158 5，12在(，3)内取值的概率为10.158 50.841 5.一、选择题1已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1)，且 P(2 X4)0.682 6，则 P(X4
5、)( )A0.158 8 B0.158 7C0.158 6 D0.158 5解析：选 B 正态曲线关于 3 对称，P(X4) 0.158 7.1 0.682 6282设随机变量 X 服从正态分布 N(2， 2)，若 P(Xc) a，则 P(X4 c)等于( )A a B1 aC2 a D12 a解析：选 B 因为 X 服从正态分布 N(2， 2)，所以正态曲线关于直线 x2 对称，所以 P(X4 c) P(Xc)1 a.3若随机变量 X N(2,100)，若 X 落在区间(， k)和( k，)内的概率是相等的，则 k 等于( )A2 B10C. D可以是任意实数2解析：选 A 由于 X 的取值
6、落在(， k)和( k，)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线 x k 的左侧和右侧与 x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线 x k对称，即 k，而 2， k2.4已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0，3 2)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量 服从正态分布 N( ， 2)，则 P( )68.26%， P( 2 2 )95.44%.)A4.56% B13.59%C27.18% D31.74%解析：选 B 由正态分布的概率公式知P(3 3)0.682 6，P(6 6)0.954 4，故 P(3 6)P 6 6 P 3 32
7、 0.135 913.59%，故选 B.0.954 4 0.682 62二、填空题5某市有 48 000 名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为 80，标准差为 10，从理论上讲，在 80 分到 90 分之间有_人解析：设 X 表示该市学生的数学成绩，则 X N(80,102)，则 P(8010 X8010)0.683.所以在 80 分到 90 分之间的人数为 48 000 0.68316 392(人)12答案：16 3926.右图是三个正态分布 X N(0，0.25)， Y N(0,1)， Z N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量 X， Y， Z 对应曲线分别是图中的_、_、_.
8、9解析：在密度曲线中， 越大，曲线越“矮胖” ； 越小，曲线越“瘦高” 答案： 7若随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，已知 P(X1.96)0.025，则 P(|X|1.96)_.解析：由随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，得 P(X1.96)1 P(X1.96)所以 P(|X|1.96) P(1.96 X1.96) P(X1.96) P(X1.96)12 P(X1.96)120.0250.950.答案：0.9508若随机变量 X 的正态分布密度函数是 ， (x) e x 28 (xR)，则122E(2X1)_.解析：由题知 2， 2，故 E(2X1)2 E(X)12(2)15.
9、答案：5三、解答题9工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N ，问在一次正常的试验中，取(4，19)1000 个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？解： X N ， 4， .(4，19) 13不属于区间(3,5)的概率为P(X3) P(X5)1 P(3 X5)1 P(41 X41)1 P( 3 X 3 )199.7%0.3%.1 0000.0033(个)即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有 3 个10若随机变量 X N(0,1)，查表求：10(1)P(0X2.31)；(2) P(1.38 x0)；(3)P(|X|0.5)解：(1) P(0X2.31) P(X2.31) P(X0)0.989 60.50.489 6.(2)P(1.38 X0) P(0X1.38) P(X1.38) P(X0)0.916 20.50.416 2.(3)P(|X|0.5) P(0.5 X0.5) P(0.5 X0) P(0X0.5)2 P(0X0.5)2 P(X0.5) P(X0)2(0.691 50.5)20.191 50.383 0.
