1、- 1 -6 正态分布A 组1.下列函数是正态分布密度函数的是( )A.f(x)= , 和 ( 0)都是实数B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=解析:根据正态分布密度函数 f(x)= 进行判断 .答案:B2.设随机变量 服从正态分布 N(2,9),若 P(c+ 1)=P(P2 B.P1 4)=1-P( 4)=1-0.84=0.16.答案:A- 2 -5.在正态分布 N 中,随机变量在( - ,-1)(1, + )内的概率为( )A.0.997 B.0.046C.0.03 D.0.003解析: = 0,= ,P (x1)=1-P(-1 x1)=1-P(- 3 x + 3 )=1-0.997
2、=0.003.答案:D6.在某项测量中,测量结果 服从正态分布 N(1, 2)( 0).若 在(0,1)内取值的概率为0.4,则 在(0,2)内取值的概率为 . 解析: 服从正态分布 N(1, 2), 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为 0.4. 在(0,2)内取值概率为 0.4+0.4=0.8.答案:0 .87.若随机变量 X 的概率分布密度函数是 , (x)= (xR),则 E(2X-1)= .解析: = 2,=- 2,EX=- 2.E (2X-1)=2EX-1=2(-2)-1=-5.答案: -58.在一次测试中,测量结果 X 服从正态分布 N(2, 2)( 0),若 X 在(
3、0,2)内取值的概率为 0.2,求:(1)X 在(0,4)内取值的概率;(2)P(X4).解(1)由 XN(2, 2),得对称轴为 x=2,画出示意图,P (04)= 1-P(0X,集合 B= ,则 AB 的概率为( )A. B. C. D.解析:由 AB 得 X .= ,P .答案:C2.关于正态曲线的性质: 曲线关于直线 x= 对称,并且曲线在 x 轴上方;- 4 - 曲线关于 y 轴对称,且曲线的最高点的坐标是 ; 曲线最高点的纵坐标是 ,且曲线无最低点; 越大,曲线越“高瘦”; 越小,曲线越“矮胖” .其中正确的是( )A. B. C. D.答案:D3.(2016武汉市重点中学高二期末
4、联考)随机变量 N (2,10),若 落在区间( - ,k)和(k,+ )的概率相等,则 k 等于( )A.1 B.10 C.2 D.解析: 区间( - ,k)和( k,+ )关于 x=k 对称,x=k 为正态曲线的对称轴, k= 2,故选 C.答案:C4.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为 f(x)=(xR),则下列命题不正确的是( )A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同D.该市这次考试的数学成绩方差为 100解析:因为
5、= 80,= 10,所以 A,D 正确,根据 3 原则知 C 正确 .答案:B5.已知 XN(0,1),则 X 在区间( - ,-2)内取值的概率为 . 解析:因为 XN(0,1),所以 X 在区间( - ,-2)和(2, + )内取值的概率相等 .又知 X 在( -2,2)内取值的概率是 0.954,所以 X 在( - ,-2)内取值的概率为=0.023.答案:0 .0236.已知随机变量 服从正态分布 N( , 2),且 P( 2)=0.4,则 P(0 1)= .- 5 -解析:由 P( 1)= 得 = 1,所以随机变量 服从正态分布 N(1, 2),所以曲线关于 x=1 对称 .因为 P
6、( 2)=0.6,所以 P(0 1)=0.6-0.5=0.1.答案:0 .17.导学号 43944046 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800,502)的随机变量 .记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0.(1)求 p0的值;(参考数据:若 XN( , 2),有 P(-X + )=0.683,P(- 2X + 2 )=0.954,P(- 3X + 3 )=0.997)(2)某客运公司用 A,B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次 .A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别为 1
7、600 元 /辆和2 400 元 /辆 .公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆 .若每天要以不小于 p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆?解(1)由于随机变量 X 服从正态分布 N(800,502),故有 = 800,= 50,P(700X900) =0.954.由正态分布的对称性,可得 p0=P(X900) =P(X800) +P(800X900)= P(700X900) =0.977.(2)设 A 型、 B 型车辆的数量分别为 x,y,则相应的营运成本为(1 600 x
8、+2 400y)元 .依题意, x,y 还需满足: x+y21, y x+7,P(X36 x+60y) p0.由(1)知, p0=P(X900),故 P(X36 x+60y) p0等价于 36x+60y900 .于是原问题等价于求满足约束条件且使目标函数 z=1 600x+2 400y 达到最小的 x,y.作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6).由图可知,当直线 z=1 600x+2 400y 经过可行域的点 P 时,直线 z=1 600x+2 400y 在 y 轴上截距 最小,即 z 取得最小值 .故应配备 A 型车 5 辆、 B 型车
9、12 辆 .8.导学号 43944047 为了解一种植物的生长情况,抽取一批该植物样本测量高度(单位:cm),其频率分布直方图如图所示 .- 6 -(1)求该植物样本高度的平均数 和方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)假设该植物的高度 Z 服从正态分布 N( , 2),其中 近似为样本平均数 , 2近似为样本方差 s2,利用该正态分布求 P(64.5Z96).附: 10 .5,若 ZN( , 2),则 P(-Z+ )=0.683,P(- 2Z+ 2 )=0.954.解(1) =550.1+650.2+750.35+850.3+950.05=75,s2=(55-75)20.1+(65-75)20.2+(75-75)20.35+(85-75)20.3+(95-75)20.05=110.(2)由题意知, ZN(75,110),从而 P(64.5Z75)= P(75-10.5Z75+10.5)= 0.683=0.341 5,P(75Z96)= P(75-210.5Z75+210.5)= 0.954=0.477.所以 P(64.5Z96)=P(64.5Z75)+P(75Z96)=0.341 5+0.477=0.818 5.
