1、1题组层级快练(七十八)1设 a，b，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A(a3) 2b 时，恒成立，当 ab1，xa ，yb ，则 x 与 y 的大小关系是( )1a 1bAxy Bxb1，ab0，ab10，ab0，xy0 即 xy，故选 A.另解：考察 f(x)x (x1)1xf(x)1 0，1x2 x2 1x2f(x)为增函数又 ab1，f(a)f(b)，即 xy.故选 A.3已知 a，b，m，n 均为正数，且 ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_2答案 2解析 (ambn)(bman)abm 2(a 2b 2)mnabn 2ab(m 2n 2)2(
2、a 2b 2)2abmn2(a 2b 2)4ab2(a 2b 2)2(a 22abb 2)2(ab) 22(当且仅当 mn时等号成立)24(2019沧州七校联考)若 logxy2，则 xy 的最小值为_答案 3322解析 由 logxy2，得 y .1x2而 xyx 3 3 ，当且仅当 即 x 时取等1x2 x2 x2 1x2 3x2x21x2 314 3322 x2 1x2 32号所以 xy 的最小值为 .33225若 a，b，cR ，且 abc1，则 的最大值为_a b c答案 3解析 方法一：( )2abc2 2 2 abc(ab)(bc)a b c ab bc ca(ca)3.当且仅当
3、 abc 时取等号成立方法二：柯西不等式：( )2(1 1 1 )2(1 21 21 2)(abc)a b c a b c3.6已知 a，b，cR，a2b3c6，则 a24b 29c 2的最小值为_答案 12解析 由柯西不等式，得(1 21 21 2)(a24b 29c 2)(a2b3c) 2，即a24b 29c 212，当 a2b3c2 时等号成立，所以 a24b 29c 2的最小值为 12.7(2019江苏南通联考)已知 x0，y0，aR，bR.求证：( )2 .ax byx y a2x b2yx y答案 略证明 因为 x0，y0，所以 xy0.所以要证( )2 ，ax byx y a2x
4、 b2yx y即证(axby) 2(xy)(a 2xb 2y)，即证 xy(a22abb 2)0，即证(ab) 20，而(ab) 20 显然成立故( )2ax byx y.a2x b2yx y8(2019福建质量检查)若 a，b，cR ，且满足 abc2.3(1)求 abc 的最大值；(2)证明： .1a 1b 1c 92答案 (1) (2)略827解析 (1)因为 a，b，cR ，所以 2abc3 ，故 abc .3abc827当且仅当 abc 时等号成立23所以 abc 的最大值为 .827(2)证明：因为 a，b，cR ，且 abc2，所以根据柯西不等式，可得 (abc)( ) ( )2
5、( )2( )2( )2( )2( )21a 1b 1c 12 1a 1b 1c 12 a b c 1a 1b 1c ( )2 .12 a 1a b 1b c 1c 92所以 .1a 1b 1c 929(2019武汉调研)(1)求不等式|x5|2x3|1 的解集；(2)若正实数 a，b 满足 ab ，求证： 1.12 a b答案 (1)x|7x (2)略13解析 (1)当 x 时，x52x31，32解得 x7，7x ；32当 ，所以 2，所以 01，且 f(ab)|a|f( )，证明：|b|2.ba答案 (1)x|x4 或 x1 (2)略解析 (1)|x2|x1|5.当 x2 时，(x2)(x1)5，x4；当 1x2 时，(2x)(x1)5，15，无解；当 x|a|f( )|ab2|a| 2|ab2|b2a|(ab2) 2(b2a)ba ba2a2b24b 24a 20(a21)(b 24)0.因为|a|1，所以 a210，所以 b240，|b|2.
