1、12.1 平面向量的实际背景及基本概念A 级 基础巩固一、选择题1关于向量的概念，下列命题中正确的是( )A若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B模相等的两个平行向量是相等向量C若 a 和 b 都是单位向量，则 a bD两个相等向量的模相等解析：A 项，两个向量如果相等，则它们的模和方向相同，起点和终点不一定重合，故错误；B 项，模相等的两个平行向量有可能方向相反，故错误；C 项，两个向量相等不仅要求模相等还要求方向相同，单位向量的模相等，方向不一定相同，故错误；D 项，如果向量相等，则它们的模和方向均相同，故正确答案：D2数轴上点 A， B 分别对应1，2，则向量 的长度是( )AB
2、A1 B2 C1 D3解析：| |2(1)3.AB 答案：D3如图所示，在 O 中，向量 、 、 是( )OB OC AO A有相同起点的向量B共线向量C模相等的向量D相等的向量答案：C4如图，等腰梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 P，点 E， F 分别在两腰 AD， BC上， EF 过点 P，且 EF AB，则( )2A. B. AD BC AC BD C. D. PE PF EP PF 解析：由平面几何知识知， 与 方向不同，故 ； 与 方向不同，故AD BC AD BC AC BD ； 与 的模相等而方向相反，故 ； 与 的模相等且方向相同，所以 AC BD PE PF
3、 PE PF EP PF EP .PF 答案：D5若| | |且 ，则四边形 ABCD 的形状为( )AB AD BA CD A平行四边形 B矩形C菱形 D等腰梯形解析：由 知四边形为平行四边形；由| | |知四边形 ABCD 为菱形BA CD AB AD 答案：C二、填空题6有下列说法：向量 和向量 长度相等；AB BA 向量 是有向线段；BC 向量 0 0向量 大于向量 ；AB CD 单位向量都相等其中，正确的说法是_(填序号)解析：序号 正误 原因 | | | ABAB BA 向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来3 0 是一个向量，而 0 是一个数量 向量不能比较大小 单位向量的
4、模均为 1，但方向不确定答案：7如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2， O 为其中心，则| |_OA 解析：因为正方形的对角线长为 2 ，所以| | .2 OA 2答案： 28如果在一个边长为 5 的正 ABC 中，一个向量所对应的有向线段为 (其中 D 在边AD BC 上运动)，则向量 长度的最小值为_AD 解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正 ABC 中，有向线段 AD 长度最小时， AD 应与边 BC 垂直，有向线段 AD 长度的最小值为正 ABC 的高，为 .532答案：532三、解答题9如图所示，四边形 ABEF 和 BCDE 均是边长为 1 的正方形，在以 A，
5、B， C， D， E， F为起点和终点的向量中，(1)写出与 ， 相等的向量；AF AE (2)写出与 模相等的向量AD 解：(1)与 相等的向量有 ， ，与 相等的向量为 .AF BE CD AE BD (2)与 模相等的向量有 ， ， .AD DA CF FC 10.如图所示， O 是正六边形 ABCDEF 的中心4(1)与 的模相等的向量有多少个？OA (2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？OA (3)与 共线的向量有哪些？OA 解：(1)与 的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB)，而每一条线段可以有两个OA 向量，所以这样的向量共有 23 个(2)存在由正六
6、边形的性质可知 BC AO EF，所以与 的长度相等、方向相反的向OA 量是 ， ， ， ，共 4 个AO OD FE BC (3)由(2)知， BC OA EF， OD， AD 与 OA 在同一条直线上，所以与 共线的向量有 ，OA BC ， ， ， ， ， ， ， ，共 9 个向量CB EF FE AO OD DO AD DA B 级 能力提升1已知点 O 固定，且| |2，则 A 点构成的图形是( )OA A一个点 B一条直线C一个圆 D不能确定解析：因为| |2，OA 所以终点 A 到起点 O 的距离为 2.又因为 O 点固定，所以 A 点的轨迹是以 O 为圆心，2 为半径的圆答案：C
7、2给出下列四个条件： a b；| a| b|； a 与 b 方向相反；| a|0 或|b|0，其中能使 a b 成立的条件是_(填序号)解析：因为 a 与 b 为相等向量，所以 a b，即能够使 a b 成立；由于| a| b|并没有确定 a 与 b 的方向，即不能够使 a b 成立；因为 a 与 b 方向相反时， a b，即能够使 a b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以| a|0 或| b|0 时， a b 能够成立故使 a b 成立的条件是.5答案：3如图，两人分别从 A 村出发，其中一人沿北偏东 60方向行走了 1 km 到了 B 村，另一人沿北偏西 30方向行走了 km 到了 C 村，问 B、 C 两村相距多远， B 村在 C 村的什3么方向上？解：由题可知| |1，| | ，AB AC 3 CAB90，则| |2.BC 又 tan ACB ，|AB |AC | 13 33所以 ACB30，故 B， C 两村间的距离为 2 km， B 村在 C 村的南偏东 60的方向上
