1、111.4 二项分布与正态分布考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.条件概率、相互独立事件及二项分布了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题掌握2017课标全国,13;2015课标,4;2014课标,5选择题解答题 2.正态分布及其应用利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 了解2017课标全国,19;2015湖南,7;2015湖北,4选择题解答题 分析解读 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,掌握求条件概率的步骤,会求条件概率.2.掌握独立事件的概率求法,能用二项分布解决实际问
2、题.3.了解正态分布与正态曲线的概念,掌握正态曲线的性质.4.独立事件的概率及正态分布均为近几年高考的热点.本节在高考中一般以选择题、解答题形式出现,难度为易或中等,分值约为5分或12分.五年高考考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布1.(2015课标,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312答案 A2.(2014课标,5,5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0
3、.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45答案 A3.(2017课标全国,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX= . 答案 1.964.(2016四川,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 . 答案 5.(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,.(1)记X表示一辆车从甲
4、地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析 本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)= 1- 1- + 1- 1- +=,2P(X=2)=+=,P(X=3)=.所以,随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3=.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率
5、为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=+=.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.6.(2016课标全国,18,12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数 0 1 2 3 4 5保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数 0 1 2 3 4 5概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本
6、保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.解析 (1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(3分)(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=.因此所求概率为.(7分)(3)记续保人本年度的保费为X元,则X的分布列为X 0.85a a 1.25a
7、 1.5a 1.75a 2aP 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05EX=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a(元).因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.(12分)教师用书专用(711)7.(2015广东,13,5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=30,D(X)=20,则p= . 答案 8.(2016山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“
8、星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.解析 3(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“星队至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+BCD+ACD+ABD+ABC,由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(ACD)+P(ABD)+P(ABC)=P(A)
9、P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)P()=+2=.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)=,P(X=1)=2=,P(X=2)=+=,P(X=3)=+=,P(X=4)=2=,P(X=6)=.可得随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4 6P所以数学期望EX=0+1+2+3+4+6=.9.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从
10、装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析 (1)记事件A 1=从甲箱中摸出的1个球是红球,A2=从乙箱中摸出的1个球是红球,B1=顾客抽奖1次获一等奖,B2=顾客抽奖1次获二等奖,C=顾客抽奖1次能获奖.由题意知,A 1与A 2相互独立,A 1与A 2互斥,B 1与B 2互斥,且B 1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因为
11、P(A 1)=,P(A2)=,所以P(B 1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2)=+=.故所求概率为P(C)=P(B 1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以XB.于是P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.故X的分布列为X 0 1 2 3P4X的数学期望为E(X)=3=.10.(2015北京,16,13分)A,B两组各有7位病人,他们
12、服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:A组:10,11,12,13,14,15,16;B组:12,13,15,16,17,14,a.假设所有病人的康复时间互相独立,从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a为何值时,A,B两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解析 设事件A i为“甲是A组的第i个人”,事件B j为“乙是B组的第j个人”,i,j=1,2,7.由题意可知P(A i)=P(Bj)=,i,j=1,2,7.(1)由题意知,事件“甲的康复时间
13、不少于14天”等价于“甲是A组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A 5A 6A 7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知,C=A 4B1A 5B1A 6B1A 7B1A 5B2A 6B2A 7B2A 7B3A 6B6A 7B6.因此P(C)=P(A 4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)=10P(A4)P(B1)=.(3)a=11或a=18.11.(2014陕
14、西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg) 300 500概 率 0.5 0.5作物市场价格(元/kg) 6 10概 率 0.4 0.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.解析 (1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4,利润=产量市场价格-成本,X所有可能的取值为50010-
15、1 000=4 000,5006-1 000=2 000,30010-1 000=2 000,3006-1 000=800.P(X=4 000)=P()P()=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,P(X=2 000)=P()P(B)+P(A)P()=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5,P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2,所以X的分布列为X 4 000 2 000 800P 0.3 0.5 0.2(2)设C i表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),由题意知C 1,C2,C3相互独立,由(1)知,P(Ci)=P(X=4 000)+P(X
16、=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2 000元的概率为5P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=30.820.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.考点二 正态分布及其应用1.(2015湖北,4,5分)设XN( 1,),YN( 2,),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )A.P(Y 2)P(Y 1)B.P(X 2)P(X 1)C.对任意正数t
17、,P(Xt)P(Yt)D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)答案 C2.(2015湖南,7,5分)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附:若XN(, 2),则P(-6)的值为( )(参考数据:若随机变量XN(, 2),则P(-4)= . 答案 0.1三、解答题(共30分)6.(2018四川成都第七中学一诊,19)“微信运动”已成为当下热门的运动方式,小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”,他随机选取了其中的40人(男、女各20人),记录了他们某一天的走路步数,并将数据整理如下:步数性别 02
18、0002 0015 0005 0018 0008 00110 000 10 000男 1 2 3 6 8女 0 2 10 6 2(1)已知某人一天的走路步数超过8 000步被系统评定为“积极型”,否则为“懈怠型”,根据题意完成下面的22列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关;积极型 懈怠型 总计男女总计(2)若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布,现从小王的所有微信好友中任选2人,其中每日走路不超过5 000步的有x人,超过10 000步的有y人,设=|x-y|,求的分布列及数学期望.附:P(K2k 0) 0.10
19、0.05 0.025 0.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635K2=.解析 (1)积极型 懈怠型 总计男 14 6 209女 8 12 20总计 22 18 40K2=1.75,则p的取值范围是( )A. B.C. D.答案 C4.(2018广东珠海一中等六校第一次联考)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数A= a1a2a3a4a5,其中A的各位数字中,a 1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次独立重复试验的总得分X的方差为 . 答
20、案 5.(2017广东惠州第二次调研,18)一个盒子中装有大量形状大小一样但质量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的质量(单位:克),质量分组区间为5,15,(15,25,(25,35,(35,45,由此得到样本的质量频率分布直方图(如图).(1)求a的值,并根据样本数据,估计盒子中小球质量的众数与平均值;(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中质量在5,15内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望 (以直方图中的频率作为概率).解析 (1)由题意,得(0.02+0.032+a+0.018)10=1,解得a=0.03.又由最高矩形中点的横坐标为20,可估计盒子中小球质量的众数为2
21、0克.50个样本中小球质量的平均值为=0.210+0.3220+0.330+0.1840=24.6(克).故估计盒子中小球质量的平均值为24.6克.(2)由题意可知该盒子中小球质量在5,15内的概率为0.2,11XB,X的可能取值为0、1、2、3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.X的分布列为X 0 1 2 3PEX=0+1+2+3=.方法3 正态分布及其应用方法6.(2017江西九江十校联考二模,5)设随机变量服从正态分布N(,7),若P(4),则 与D的值分别为( )A.=,D= B.=,D=7C.=3,D=7 D.=3,D=答案 C7.(2016陕西安康三模
22、,19)在一次全国高中五省大联考中,有90万的学生参加,考后对所有学生成绩统计发现,英语成绩服从正态分布N(, 2),用茎叶图列举了20名学生英语的成绩(如图),巧合的是这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9,且这20个数据的方差为49.9.(1)求,;(2)给出正态分布的数据:P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4.(i)若从这90万名学生中随机抽取1名,求该生英语成绩在(82.1,103.1)上的概率;(ii)若从这90万名学生中随机抽取1万名,记X为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)上的人数,求X的数学期望.解析 (1
23、)由茎叶图得这20个数据的平均数:=(79+80+81+82+87+87+88+88+89+90+90+90+90+91+92+93+93+100+101+109)=90,这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9,且这20个数据的方差为49.9,英语成绩服从正态分布N(, 2),=90-0.9=89.1,=7.(2)(i)英语成绩服从正态分布N(89.1,49),P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4,P(82.1X96.1)=0.682 6,P(75.1X103.1)=0.954 4.作出相应的正态曲线,如图,其中A、E、F、B的横坐标分别是75.1、82.1、96.1、103.1.则曲边梯形ABCD的面积为0.954 4,曲边梯形EFGH的面积为0.682 6,由曲线关于直线x=89.1对称,可知曲边梯形EBCH的面积为0.954 4-=0.818 5,即该生英语成绩在(82.1,103.1)上的概率为0.818 5.(ii)从这90万名学生中随机抽取1名,该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为0.818 5,从这90万名学生中随机抽取1万名,这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)上的人数X的数学期望E(X)=0.818 510 000=8 185.
