1、考场对接,题型一 利用相似三角形的性质计算,例题1 有一个三角形的三边长分别为3, 4, 5, 若另一个与它相似的三角形的最短边长为9, 求出 另一个三角形的周长P和面积S.,解 32+42=52, 此三角形为直角三角形, 周长P0=3+4+5=12, 面积S0= 34=6. 两个三角形相似,P=36, S=54.,锦囊妙计 周长比与相似比 利用相似三角形的周长比等于相似比这一 性质, 可在已知两个相似三角形的相似比和其 中一个三角形的周长的情况下求另一个三角形 的周长, 而不必求出三角形的每一条边长,例题2 图27-2-69所示,在等腰三角形ABC中,底边 BC=60 cm, 高 AD=40
2、 cm, 四边形 PQRS 是正方形. (1)ASR 与ABC 相似吗？为什么？ (2)求正方形PQRS的边长,分析 (1)根据正方形的性质及相似三角形的 判定定理可得到ASR ABC； (2) 设正方形的边长为x cm, 用含x 的式子 分别表示出SR, SP (即 ED), AE 的长, 然后根据 ASR ABC, 利用相似三角形对应高的比等于 相似比求解,解 (1)四边形PQRS是正方形, SRPQ, ASR=ABC, ARS=ACB, ASR ABC. (2)设正方形PQRS的边长为x cm, 则SR=x cm, SP=DE=x cm, AE=(40-x)cm. ASRABC, AEA
3、D=SR BC. BC=60 cm, AD=40 cm, (40x) 40=x 60, x=24, 即正方形 PQRS 的边长为 24 cm,锦囊妙计 相似三角形性质的应用 根据相似三角形的判定方法判定三角形相 似, 再利用相似三角形的性质, 可正确找出对应 的边(中线、高、角平分线)、角及面积与周长, 从而使有关相似三角形的计算问题得以解决,例题3 为了测量校园内一棵高不可攀的树 的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索： 根据自然科学中的反 射定律, 利用一面镜子和一根 皮尺, 设计如图27-2-70所示的测量方案：把镜子放在离树AB 8.7米的点E处, 然后沿着直线BE后退到点D,
4、这 时恰好在镜子里看到树梢的顶点A, 再用 皮尺量得 DE=2.7米, 观察者目高CD=1.6米, 请你计算树AB 的高度(精确到0.1米),题型二 相似三角形在实际问题中的应用,解 由题意,知,锦囊妙计 镜子反射原理 入射角i等于反射角r, 如图27-2-71所示.,例题4 小明想利用太 阳光测量楼高, 他带着皮尺 来到一栋楼下, 发现对面墙上 有这栋楼的影子, 针对这种 情况, 他设计了一种测量方 案, 具体测量情况如下：如图27-2-72, 小明边移 动边观察, 发现站在点E处时, 可以使自己落在墙 上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠, 且高度恰 好相同, 此时, 小明测得自己落在墙上的
5、影子高度CD=1.2 m, CE=0.8 m, CA=30 m (点A, E, C在同一 直线上), 已知小明的身高EF是 1.7 m, 请你帮小明 求出楼高AB(结果精确到0.1 m),分析 首先过点D作DGAB, 分别交AB, EF于 点G, H, 利用相似三角形的性质得出BG的长, 进而 得出AB的长即可.,解 如图27-2-72, 过点D作DGAB, 分别交 AB, EF于点G, H. ABCD, DGAB, ABAC, 四边形ACDG是矩形, EH=AG=CD=1.2 m, DH=CE=0.8 m, DG=CA=30 m. EFAB, DFHDBG, 由题意, 知FH=EF-EH=1
6、.7-1.2=0.5(m), 解得BG=18.75(m), AB=BG+AG=18.75+1.2=19.9520.0(m) 答：楼高AB约为20.0 m,锦囊妙计 测量物体高度、宽度的方法 利用相似三角形的性质和判定计算物体的 高度, 关键在于构造相似三角形, 然后根据相似 三角形的性质得比例式列出方程, 通过解方程 求得问题的解.,例题5 邵阳中考如 图27-2-73所示, 某校数学 兴趣小组利用自制的直角三 角形硬纸板DEF来测量操场 上旗杆AB的高度, 他们通过调整测量位置, 使斜 边DF与地面保持平行, 并使边DE与旗杆顶点A在 同一直线上, 已知DE=0.5 m, EF=0.25 m
7、, 目测 点D到地面的距离DG=1.5 m, 到旗杆的水平距离 DC=20 m, 求旗杆的高度,分析 根据“具有公共锐角的两个直角三角 形相似”得出比例线段, 从而解决问题根据题意 可得DEFDCA, 进而利用相似三角形的性质 得出AC的长, 即可得出答案,解 由题意可得DEFDCA,DE=0.5 m, EF=0.25 m, DC=20 m,故AB=CA+BC=10+1.5=11.5(m). 答：旗杆的高度为11.5 m,锦囊妙计 相似中的数学模型 (1)利用数学知识解决实际问题的关键是数 学建模, 常见的相似模型有：,(2)在测量河流、池塘的宽时, 可采用如图 27-2-75所示的方法,题型
8、三 相似与函数的综合问题,例题6 如图27-2-76所示, 抛物线y1= 经过A, C两点, 且与x轴的另一交点为点B若 抛物线的顶点为点M, P为线段AB上的一个动点(不与点B重合), 点Q在线段MB上移动, 且MPQ=45 , 设OP=x, QM= y2, 求y2与x之间的函数关系式, 并直接写出自变量的取值范围,分析 计算可知MPQ=MBP=45 , 易证 得MPQMBP, 根据相似三角形得到成比例线段即可得到关于PM, y2的关系式, 再结合勾股定 理即可求出y2与x之间的函数关系式,解 过点M作MNAB, 垂足为N, 由抛物线解析式可求得M(1, 2), A(-1, 0), B(3, 0), AB=4, MN=BN=2,MBP=45. MPQ=45 , MBP=MPQ. 又BMP=PMQ, MBPMPQ, ,锦囊妙计在一些综合性的几何题中, 常常以相似作 为突破口求得线段之间的数量关系, 或者求得 线段的长度.,
