1、章末复习,知识框架,归纳整合,中考链接,素 养 提 升,知识框架,相似多边形,位似,定义,两个边数相同的多边形, 如 果它们的角分别相等, 边成 比例, 那么这两个多边形叫 作相似多边形,三个角分别相等, 三条边 成比例的两个三角形叫作 相似三角,对应角相等,对应边成比例,平行于三角形一边的直线 和其他两边相交, 所构成 的三角形与原三角形相似,相似三角形,两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似,两角分别相等的 两个三角形相似,三边成比例的两个三角形相似,确定位似中心, 找关键 点, 作关键点的对应点,坐标中的位似 变换,不仅相似, 而且对应 点的连线相交于一点,性质,对应线段(高、中线、角平
2、 分线等)的比等于相似比,周长的比等于相似比,面积 的比等于相似比的平方,判定,利用视线测量物高,应用,利用影长测量物高,利用其他方法构成相似三 角形测距离,作图,不仅相似, 而且对应 点的连线相交于一点,定义,性质,对应角相等, 对应边成比例,周长比等于相似比, 面积 比等于相似比的平方,专题一 平行线分线段成比例,【要点指导】 平行线分线段成比例是三角形相似的基础 , 也是求线 段比和证明与线段长度相关的等式的一种方法 .,归纳整合,例1 如图27-Z-1, 在ABC中, D为AC上一点,且 , 过点 D 作 DE BC 交 AB 于点 E, 连接 CE, 过点D 作 DF CE 交 AB
3、 于点F. 若 AB=15, 则 EF=_,相关题1,C,如图27-Z-2, 在ABC中, DEBC, , AE= 2 cm, 则AC的长是( ). A2 cm B4 cm C6 cm D8 cm,专题二 相似三角形的判定,【要点指导】 判定两个三角形相似的方法：(1)平行于三角形一边 的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似；(2)三边成比 例的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； (4)两角分别相等的两个三角形相似. 证明两个三角形相似, 要结合已知 条件和隐含条件灵活选择判定方法. 以上四种方法中, 两角分别相等和 平行线法是常用的证明方法.,例2 如
4、图27- Z - 3 所示, CD 是RtABC斜边上的高, E是AC的中 点, ED, CB的延长线交于点F. 求证：FDBFCD.,证明 CD是RtABC斜边上的高, E是AC的中点,EDA=A, EDC=ECD. EDC+EDA=90 , EDA=BDF, EDC+BDF=90 , ECD+BDF=90 . ECD+DCF=90 , BDF=DCF. 又F=F, FDBFCD.,相关题2,如图27- Z - 4所示, 在 ABCD中, 对角线AC, BD 相交于点O, 分别过点D, C 作DEOC, CEOD (1)图中有若干对相似三角 形, 请至少写出三对相似 (不全等的)三角形, 并
5、选择 其中一对加以证明； (2)求证：DM= OB.,解 (1)相似三角形有ABMNDMNCE，AOMACE，DNECNA等 证明：四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ABMNDM. CEOD，NDMNCE，AOMACE， ABMNDMNCE. DEOC， DNECAN.,专题三 相似三角形的性质,【要点指导】(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角 平分线的比都等于相似比；(2)相似三角形周长的比等于相似比；(3)相 似三角形面积的比等于相似比的平方,例3 若ABCABC, 且AC=3 cm, BC=5 cm, AC=4 cm, AB= 7 cm, 则ABC的周长为( ). A1
6、2 cm B13 cm C14 cm D15 cm,A,相关题3 在ABC中, BC=6, AC=8, AB=10, 另一个与它相似的 三角形的最短边长是3, 则 其最长边长是( ). A12 B5 C16 D20,解析 在ABC中，最短边长BC6，最长边长AB10，另一个与它相似的三角形的最短边长是3，它们的相似比是21，另一个三角形的最长边长是5.,B,例4 已知两个相似三角形的一对对应角平分线的长分别 是35 cm 和 14 cm. 已知它们的周长相差 60 cm, 求这两个三角形的周长； 已知它们的面积相差 588 cm2, 求这两个三角形的面积 .,解 (1) 两个相似三角形的一对对
7、应角平分线的长分别是 35 cm 和 14 cm, 这两个三角形的相似比为 5 2, 这两个三角形的周长比为 5 2. 设较大的三角形的周长为 5x cm, 较小的三角形的周长为 2x cm. 它们的周长相差 60 cm, 3x=60, 解得 x=20, 5x= 520=100(cm), 2x=220=40(cm), 较大的三角形的周长为 100 cm, 较小的三角形的周长为 40 cm.,(2) 这两个三角形的相似比为 5 2, 这两个三角形的面积比为 25 4. 设较大的三角形的面积为 25y cm2, 较小的三角形的面积为 4y cm2. 它们的面积相差 588 cm2, (25-4)y
8、=588, y=28, 25y=2528=700(cm2), 4y=428=112 (cm2), 较大的三角形的面积为 700 cm2, 较小的三角形的面积为 112 cm2.,相关题4 如图27-Z-5所示, 在ABC 中,点D,E分别在边AB,AC上, 且 则SADE S四边形BCED的值为( ). A B12 C13 D14,C,专题四 证明比例式或等积式,【要点指导】 本章中常出现证明比例式或等积式的题目, 解决此类 问题主要运用相似三角形的性质, 常用的方法有： 1三点定形法. 分别观察所证线段比例式的分子和分母或各个比 的分子和分母, 它们各自两条线段的四个字母中不同的三个字母是否
9、分 别为某三角形的三个顶点, 若恰好能组成两个三角形, 则可以考虑证明 这两个三角形相似.,2基本图形定形法. 熟悉相似三角形的基本图形是寻找相似三角 形的捷径, 常见的相似三角形有以下四种：(1)平行线型；(2)等角对顶 型；(3)共角等角型；(4)共边等角型 3等量代换法. 当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三 角形时, 往往需要进行等量代换, 如“线段的代换”或利用“中间比” 进行代换. 4辅助平行法. 利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有 效方法, 这种方法经常通过平行线分线段成比例定理及其推论来实现.,例5 如图27-Z-6所示, 在四边形ABCD中, AD=CD, D
10、AB= ACB=90 , 过点D作DEAC, 垂足为F, DE与AB相交于点E. 求证：ABAF=CBCD,证明 DEAC, DFA=90 DAB=DAF+CAB=90 , CAB+B=90 , DAF=B. 在DAF和ABC中, DFA=ACB=90 , DAF=B, ABAF=CBCD,相关题5-1 如图27- Z - 7所示, 在 ABC中, D是BC边上一点, E是AC边上一点, 且满足 AD=AB, ADE=C 求证：(1)AED=ADC, DEC=B； (2)AB2=AEAC,相关题5-2,如图27-Z-8所示, AB是 半圆O的直径, 点P在BA的 延长线上, PD切O于点 C,
11、 BDPD, 垂足为D, 连接 BC. 求证：(1)BC平分PBD； (2)BC2=ABBD.,证明 (1)连接OC，则OCPD. BDPD，OCBD，OCBCBD. OBOC，OCBOBC，CBDOBC，即BC平分PBD. (2)连接AC.AB是半圆O的直径，ACB90. BDPD，PDB90. 又CBDOBC，ABCCBD，,专题五 位似变换,【要点指导】 位似图形一定是相似图形, 经位似变换后的图形, 不 仅与原图形相似, 而且对应点的连线交于一点, 利用位似变换, 可以将一 个图形放大或缩小.,例6 如图27-Z-9, ABC的顶点坐标分别为A(1, 1), B(2, 3), C(3,
12、 0). (1)以点O为位似中心画DEF, 使它与ABC位似, 且相似比为2； (2)在(1)的条件下, 若M(a, b)为ABC边 上的任意一点, 则DEF的 边上与点M对 应的点M的坐标为多少？,解： (1)如图27-Z-10, DEF和DEF即为所求的三角形.(2)与点M对应的点M的坐标为(2a, 2b)或(-2a, -2b),相关题6 如图27-Z-11, ABC的三 个顶点坐标分别为A (2, 7), B (6, 8), C (8, 2). (1)以点O为位似中心, 在第 三象限内作出A1B1C1, 使 A1B1C1与ABC的位似 比为12； (2)写出点A1, B1, C1的坐标；
13、 (3)如果ABC内部一点M 的坐标为(x, y), 写出点M的 对应点M的坐标,解： (1)如图所示，A1B1C1即为所求作的三角形 (2)A1(1，3.5)，B1(3，4)， C1(4，1) (3)点M的坐标为 .,专题六 利用相似列函数解析式,【要点指导】 求几何图形中的函数关系, 一般会用到几何图形和相 似的性质, 尤其是利用相似得到比例式, 从而将未知线段用含字母的代数 式表示出来.,例7 如图27-Z-12所示, 正方形ABCD的边长 为4, M, N分别是BC, CD上的两个动点, 当点M在BC 上运动时, 保持AM和MN垂直.(1)求证：RtABMRtMCN. (2)设BM=x
14、, 梯形ABCN的面积为y, 求y关于x 的函数解析式；当点M运动到什么位置时, 四边形 ABCN的面积最大？ 并求出最大面积. (3)当点M运动到什么位置时, RtABMRtAMN？ 并求此时BM的长.,解 (1)证明：在正方形ABCD中, B=C=90 . AMMN, AMN=90 , CMN+AMB=90 在RtABM中, MAB+AMB=90 ,(2) RtABMRtMCN, 当x=2时, y取最大值, 最大值为10 故当点M运动到BC的中点时, 四边形ABCN的面积最大, 最大面积为10.,(3) B=AMN=90 , 要使RtABMRtAMN,由（1）知 BM=MC, 即当点M运动
15、到BC的中点时, RtABMRtAMN, 此时BM=2.,相关题7 -1 如图27-Z-13所示, 在矩 形ABCD中, AB=m(m是大 于0的常数), BC=8, E为 线段BC上的动点(不与点 B, C重合)连接DE, 作 EFDE, EF与射线BA交于 点F, 设CE=x, BF=y. (1)求 y 关于x 的函数解 析式； (2)若m=8, 求x为何值时, y的值最大, 最大值是多少？,相关题7 -2 如图27-Z-14所示, 在直 角梯形ABCD中, ABDC, D=90 , ACBC于点C, AB=10 cm, BC=6 cm, 点F 以2 cm/s的速度在线段AB 上由点A向点
16、B匀速运动, 点E同时以1 cm/s的速度 在线段BC上由点B向点C 匀速运动, 设运动时间为 t s(0t5). (1)求证：ACD BAC； (2)求DC的长； (3)设四边形AFEC的面积为 y, 求y关于t 的函数解析式, 并求出y的最小值,素 养 提 升,专题一 转化思想,【要点指导】在证明比例式时, 如果不能直接证明, 可以采用等线 段代换或“中间比”代换进行转化. 当图形中含有等腰三角形或平行四 边形等已知条件时, 往往采用等线段转化；当图形中含有多组相似三角 形时, 往往采用“中间比”进行转化,例1 如图27-Z-15所示, 在ABC中, D为BC的中 点, 过点D任作一条直线
17、交AC于点E, 交BA的延长线于点F. 求证：,相关题1 如图27-Z-16所示, 以 ABC的边BC为直径作 O分别交AB, AC于点F, E, ADBC于点D, AD交O 于点M, 交BE于点H. 求证：DM2=DHDA,专题二 分类讨论思想的应用,【要点指导】 如果被研究的问题包含多种情况, 不能一概而论时, 为了避免出现漏解, 必须按可能出现的所有情况分别讨论, 得出各种情 况下相应的结论, 这种解决问题的思想称为分类讨论思想,例2 如图27-Z-17所示, 在直角梯形ABCD中, A=B=90 , AD=2, BC=8, AB=10, 在线段AB上取一 点P, 使ADP与BCP相似,
18、 求AP的长.,相关题2 如图27-Z-18, 在ABC 中, AB=6 cm, AC=5 cm, 点D, E分别在AB, AC上. 若ADE 与ABC相似, 且SADE S四边形BCED=18, 则AD=_cm.,专题三 数学建模思想,【要点指导】 数学建模是指将实际问题转化为数学模型的方法 在有关相似三角形的实际问题中, 我们常建立相似三角形的数学模型, 然后运用相似三角形的判定与性质来解答,例3 如图27-Z-19所示, 大江的一侧有A, B 两个工厂, 它们到江边DE的距离分别为3 km和2 km, 两厂与江边平行方向的距离为4 km, 现在要在江边 建一个码头C, 码头C到两厂之间修
19、通公路, 要使公 路最短, 费用最低, 则码头C应建在哪里？,解 如图27-Z-19所示BEC=ADC=90 , BCE=ACD,设EC=x km, 则DC=(4-x)km. BE=BE=2 km 码头C应建在距离点E1.6 km处,相关题2 “今有邑, 东西七里, 南北九里, 各开中门, 出东 门一十五里有木, 问：出南门几何步而见木？” 这段话摘自九章算 术, 意思是说：如图 27-Z-20所示, 矩形城池ABCD, 东边城墙AB长 9里, 南边城墙AD长7里, 东门点E, 南门点F分别是AB, AD的中点, EGAB, FHAD, EG=15里, HG经过点A, 则FH=_里.,1.05
20、,母题1 (教材P34练习第3题) 要制作两个形状相同的三角形框架, 其中一个 三角形框架的三边长分别为4 cm, 5 cm和6 cm, 另 一个三角形框架的一边长为2 cm, 它的另外两条边 长应当是多少？你有几种制作方案？,中考链接,考点：相似三角形的判定. 考情：考查相似三角形的判定的常见题型有数相 似三角形的个数, 添加构成相似三角形的条件, 计 算相似三角形的边长、角度等.,策略,有平行线用平行线法,有一对等角, 找,有两边成比例, 找,有直角三角形, 找,有等腰三角形, 找,另一对等角,夹该角的两边成比例,夹角相等,第三边也成比例,有一对直角,一对锐角相等,斜边、直角边成比例,顶角
21、相等,一对底角相等,底和腰对应成比例,链接1 张家界中考 在ABC中, AB=8, AC=6, 在DEF中, DE=4, DF=3, 要使ABC与DEF相 似, 则需添加的一个条件是_(写出一种情况即可).,A=D或BC=2EF,链接2 佛山中考 如图27-Z-21所示, 网格 图中的每个方格都是边长为1的正方形若A, B, C, D, E, F都是格点, 试说明：ABCDEF。,解 所以ABCDEF.,链接3 江西中考 如图 27-Z-22所示, 在ABC中, AB=8, BC=4, AC=6, CDAB, BD 是ABC的平分线, BD交AC于点 E, 求AE的长.,解 BD为ABC的平分
22、线, ABD=CBD. ABCD, D=ABD, D=CBD, BC=CD. BC=4, CD=4. ABCD, ABECDE, AE=2CE. AC=6=AE+CE, AE=4.,母题2 (教材P43习题27. 2第 12题)如图27-Z-23所示, 平行 于BC的直线DE把ABC分成 面积相等的两部分, 试确定点 D(或E)的位置.,考点：相似三角形的性质. 考情：考查相似三角形对应线段的比、周长比、面积比与相似比的关系. 策略：相似三角形对应线段(中线、高、角平分 线)的比等于相似比, 周长比等于相似比, 面积比 等于相似比的平方.,链接4 黔西南州中考 如图27-Z-24所示, 在AB
23、C中, 点 D在AB上, BD=2AD, DEBC交 AC于点E, 则下列结论中不正确 的是( ).,D,分析 BD=2AD, AB=3AD.DEBC,BC=3DE, 故A选项正确； DEBC, 故B选项正确； DEBC, ADEABC, 故C选项正确； DEBC, AB=3AD, SADE= SABC, 故D选项错误.,链接5 荆门中考 如图27-Z-25, 四边形ABCD 为平行四边形, E, F为CD 边的两个三等分点, 连接 AF, BE交于点G, 则SEFGSABG=( ). A13 B31 C19 D91,C,分析 四边形ABCD是平行四边形, CD=AB, CDAB, EFGBA
24、G. DE=EF=FC, EFAB=13,母题3 (教材P41练习第2题) 如图27-Z-26所示, 测得 BD=120 m, DC=60 m, EC= 50 m,求河宽AB.,考点：相似三角形的判定与性质的实际应用. 考情：利用相似三角形的判定与性质解决生活 实际问题, 单独考查时多以选择题、填空题的形 式出现, 有时也在解答题中出现. 策略：建立相似三角形模型, 利用相似三角形的 判定定理判定两三角形相似, 再根据对应角相等 或对应边成比例求解.,链接6 陕西中考 周末, 小华和小亮想用所 学的数学知识测量家门前小河的宽测量时, 他们 选择了河对岸岸边的一棵大树, 将其底部作为点A, 在他
25、们所在的岸边选择了点B, 使得AB与河岸垂直, 并在B点竖起标杆BC, 再在AB的延长线上选择点D, 竖起标杆DE, 使得点E与点C, A共线. 已知：BCAD, DEAD, 测得BC=1 m, DE=1.5 m, BD=8.5 m测量示意图如图27-Z-27 所示 请根据相关测量信息, 求河宽AB,解 BCAD, DEAD, BCDE, ABCADE, 即 解得AB=17, 经检验：AB=17是原分式方程的解且符合题意. 答：河宽AB为17 m.,链接7 衡阳中考 如图27-Z-28所示, 已知零件的外径为25 mm, 现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和 BD相等, OC=OD)量零件的内孔直
26、 径AB. 若OCOA=12, 量得CD= 10 mm, 则零件的厚度x=_mm.,2.5,分析 由题意, 得AOBCOD, CDAB=OCOA,即10AB=12, AB=20(mm). x= (25-20)=2.5(mm).,母题4 (教材P50练习第1题) 如图27-Z-29所示, 把 AOB缩小后得到COD, 求 COD与AOB的相似比.,考点：位似 考情：求位似图形的相似比或求位似图形中点的坐标或画位似图形. 策略： (1)位似图形上任意一对对应点到位似 中心的距离之比等于相似比；(2)在平面直 角坐标系中, 如果以原点为位似中心, 新图形 与原图形的相似比为k, 那么与原图形上的点
27、(x, y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx, ky)或 (-kx, -ky).,链接8 成都中考 如图27-Z-30, 四边形 ABCD和四边形ABCD是以点O为位似中心的位 似图形, 若OAOA= 23, 则四边形ABCD与四边 形ABCD的面积比为( ). A49 B29 C23,A,分析 四边形ABCD和四边形ABCD是以 点O为位似中心的位似图形, OAOA=23, DADA=OAOA=23, 四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为 .故选A.,链接9 潍坊中考 如在平面直角坐标系中, P(m, n)是线段AB上一点, 以原点O为位似中心把AOB 放大到原来的两倍, 则点P的对应
28、点的坐标为 ( ). A(2m, 2n) B(2m, 2n)或(-2m, -2n),A,分析 P(m, n)是线段AB上一点, 以原点O为位 似中心把AOB放大到原来的两倍, 则点P的对应 点的坐标为(m2, n2)或m(-2), n(-2), 即 (2m, 2n)或(-2m, -2n). 故选B.,链接10 眉山中考 已知：如图27-Z-31所示, ABC三个顶点的坐标分别为A(0, -3), B(3, -2), C(2, -4), 正方形网格中每个小正方形的边长是1个 单位长度 (1)画出ABC向上平移6个单位长度得到的 A1B1C1； (2)以点C为位似中心, 在网格中画出A2B2C2,
29、 使A2B2C2与ABC位似, 且A2B2C2与ABC的 位似比为21, 并直接写出点A2的坐标,解 (1)如图27-Z-32所示, A1B1C1即为所求. (2)如图27-Z-32所示, A2B2C2即为所求, 点 A2的坐标为(-2, -2),母题5 (教材P44习题27. 2第14题) 如图27-Z-33所示, 在ABC中, AB=8, AC=6, BC=9. 如果动点D以每秒2个单位长度的速度, 从点B出发沿边BA向点A运动, 此时直线DEBC, 交AC于点E. 记x秒时DE的长度为y, 写出y关于x的函数解析式, 并画出它的图像.,考点：相似三角形的判定与性质、函数的基本知识. 考情
30、：动态几何即用运动的观点解决几何问题,相似三角形与函数的综合运用. 策略：数形结合思想的运用, 融代数与几何为一 体, 把代数问题与几何问题相互转化, 充分运用相似与函数的知识解决问题, 运用几何知识求解析式是解题的关键. 与二次函数结合时, 往往涉及最大面积、最小距离等问题, 解题时需要建立函数关系, 运用函数的性质求解.,链接11 汕头中考 如图27-Z-34所示, ABC与EFD均为等腰直角三角形, AC与DE重 合, AB=EF=9, BAC=DEF=90 , 固定ABC, 将EFD绕点A 顺时针旋转, 当DF边与AB边重合 时, 旋转终止. 不考虑旋转开始和结束时重合的情 况, 设D
31、E, DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的 延长线)于点G, H, 如图27-Z-34所示.,(1)始终与AGC相似的三角形有_及 _； (2)设CG=x, BH=y, 求y关于x的函数解析式(只 要求根据图的情况说明理由)； (3)当x为何值时, AGH是等腰三角形？,解 (1)HGA HAB (2)由(1)可知AGCHAB,(3)当CG BC时, GAC=HHAG, AGGH. 又AHAG, AHGH, 此时AGH不可能是等腰三角形；,当CG= BC时, G为BC的中点, 点H与点C重合, AGH是等腰三角形, 此时, GC= BC= 当CG BC时, 由(1)可知AGCHGA, 若AGH是等腰三角形, 只可能存在AG= AH, 若AG=AH, 则AC=CG, 此时, x=9 综上所述, 当x的值为 或9时, AGH是等 腰三角形,
