1、解题技巧,1.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为 边正方形EFGH的周长为 （ ）,A. B. C. D.,因为正方形面积为1，所以正方形ABCD的边长为1.,又因为E、F分别是边BC、CD的中点，所以CE=CF= ，,在RtECF中，ECF=90有勾股定理得，,所以正方形EFGH的周长为l=4EF=,解题技巧,2.如图是由三个边长分别为6,9,x的正方形所组成的图形,若 直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是 （ ）,A.1或9 B.3或5 C.4或6 D.3或6,如图，若直线AB将它分成面积相等的两部分,计算得出x=3或x=6,故选D,解题技巧,3.如图,在正
2、方形ABCD中,ABE和CDF为直角三角形,AEB= CFD=90,AE=CF=5,BE=DF=12,则EF的长是 （ ）,A.7 B.8 C. D.,如图所示AE交FD 于点M，在AEB和CFD中，,AE=CF AEBCFD BE=DF 所以AEBCFD(SAS),ABECDF,BAEDCF.在正方形ABCD中，因为ABE+DAM=90在DAM和AEB中,因为ABE+BAE180-AEB180-9090所以ABEDAM,CDF因为ADM+CDF90所以ADM+DAM90,在DAM中,ADM=180-(ADN+DAM)=90,所以EAF=180-ADM=90因为,ABEDAM 所以AEBDMA
3、(AAS),所以AE=DM=CF=5, AEBDMAAB=DA,BE=AM=DF=12所以EM=M-AE=7 MF=DF-DM=7,根据勾股定理的,F,解题技巧,4.在平面直角坐标系中正方形A1B1C1D1,D1E1E2B2,A2B2C2D2, D2E3E4B3,A3B3C3D3按如图所示的方式放置,其中点B1在y轴上 点C1,E1,E2,C2,E3.E4,C3在x轴上.已知正方形A1B1C1D1; 的边长为1.B1C10=60,B1C1B2C2B3C3.则正方形 A2015B2015C2015D2015的边长是 （ ）,A. B C. D.,因为A1B1C1D1是正方形，边长为1B1C10=
4、60，所以D1E1=B2E2=,30对应的直角边等于斜边的一半,因为B1C1B2C2B3C3所以E2B2C2=60,同理：B3C3的边长为 故正方形AnBnCnDn的边长为,所以A2015B2015C2015D2015的边长为,解题技巧,5.如图,正方形ABCD的边长为4,点P在DC边上且DP=1,点Q是AC上一 动点,则DQ+PQ的最小值为,连接QB、BP,因为D和B关于AC对称，所以BQ=DQ,DQ+QP=BQ+QP,因为两点之间线段最短，所以DQ+QP的最小值是BP,解题技巧,6.如图,在正方形ABCD中,点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上, 点M,F,Q都在对角线BD上,
5、且四边形MNPQ和AEFG均为正方形,则的值等于,在正方形ABCD中 ABDCBD45,四边形MNPQ和AEFG均为正方形, BEFAEF90,BMNQMN90 BEF与BMN是等腰直角三角形,FE=BE=AE= , BM=MN=QM, 同理DQ=MQ,MN=,解题技巧,7.如图,过正方形ABCD的顶点D作DEAC交BC的延长线于点E.(1)判断四边形ACED的形状,并说明理由; (2)若BD=8cm,求线段BE的长.,解题技巧,四边形ABCD是正方形,ADBC,即ADCE,DEAC,四边形ACED是平行四边形,由知，BC=AD=CE=CD,在RtBCD中，令BC=CD=x,则x2+x2=82
6、,BE=2x= （cm）,解得x1= ,x2= (不符合题意，舍去),解题技巧,8.如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD 的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.(1)证明:PC=PE; (2)求CPE的度数; (3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变, 当ABC=120时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数 量关系,并说明理由.,解题技巧,证明：在正方形ABCD中，AB=BC，ABP=CPB=45,在ABP和CPB中，,AB=BC ABP=CPB PB=PB,APBCBP(SAS), PA=PC, PA=PE, PC=PE,由知APBCBP
7、 BAPBCP DAPDCP PA=PC DAPE,DCPECFPEFD(对顶角相等)180-PFC-PCF=180-DFE-E,即CPF=EDF=90,在菱形ABCD中，AB=BC，APBCPB60，在ABP和CPB中在ABP和,CPB中，AB=BCABP=CPBPB=PB APBCBP(SAS),PA=PC, BAPBCPPA=PE,PC=PE DAPDCP PA=PC DAPAEP DCPAEP,CFPEFD(对顶角相等) 180-PFC-PCF=180-DFE-AEP,即CPFEDF=180-ADC=180-120=60 EPC是等边三角形,PC=CE AP=CE,解题技巧,9.如图,
8、在正方形ABCD中,点P在AD上,且不与A,D重合,BP的垂直平 分线分别交CD,AB于E,F两点,垂足为Q,过E作EHAB于H.(1)求证:HF=AP; (2)若正方形ABCD的边长为12,AP=4,求线段EQ的长.,解题技巧,证明：EQBP,EHAB,EQMBHN=90EMQBMH,EMQBMHQEMHBM 在RtAPB与RtHFE中，,由勾股定理得，,PABFHE AB=EH APBHFE HF=AP,由知APBHFEEF=BP=,EF是BP的垂直平分线，,QF=BQtanFBQ=BQtanAPB=,EQ=EF-QF=,解题技巧,10.阅读下面材料: 小明遇到这样一个问题:如图1,在边长
9、为a(a2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG =DH=1,当AFQ=BGM=CHN=DEP= 45时,求正方形MNPQ的面积.小明发现: 分别延长QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W, 可得RQF,SMG,TNH,WPE四个全等的等腰直角三角形(如图2). 请回答:(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙, 不重叠),则这个新的正方形的边长为 (2 )求正方形MNPQ的面积.参考小明思考问题的方法,解决问题;如图3.在 等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线， 得到等边RPQ.若
10、SRPQ= ，则AD的长为,解题技巧,四个等腰直角三角形的斜边长为a,则斜边上的高为,每个等腰直角三角形的面积为： ，则拼成新的正方形的面,四个等腰直角三角形的面积和为，正方形ABCD的面积为,积为 故正方形的边长为a,S正方形MNPQ=SARE+SDWH+SGCT+SSBF=4SARE,如图所示，延长RD、QF、PE，交FA、EC、DB的延长线于点S、T、W,由题意可知：RST、QET、PDW均为底角是30的等腰三角形，其底边,长均等于ABC的边长.设等腰三角形边长为a，则SF=AC过点R作RMSF,则 ，在RtRMF中，RMMFtan30,所以SRSF= 过点A作ANSD,设AD=AS=x,则AN=ADsin30=,所以SADS= 因为三个等腰三角形RSF,QET,PDW的面积和=3SRSF= ，所以SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS,所以 ，得： ，解得： 或 （舍去），所以 ， 即,
