1、例1.已知矩形的面积为36cm2，相邻两条边长分别为x cm和y cm,则y与x之间的函数图象大致是（ ）,重点中学与你有约,解题技巧,依题意，xy=36,其图象为位于一、三象限的双曲线，且y随x的增大而减小,又矩形长x0,所以图象为第一象限的一个分支，故选A.,举一反三,思路分析:根据y与x之间的函数图象为反比例函数，即可求解,已知一个矩形的面积为24cm2，其长为y cm，宽为x cm，则y与x之间的函数关系的图象大致在（ ） A第一、三象限，且y随x的增大而减小 B第一象限，且y随x的增大而减小 C第二、四象限，且y随x的增大而增大 D第二象限，且y随x的增大而增大,失误防范,反比例函数
2、在矩形面积中的应用： 当矩形面积一定时，矩形的两边长为x，y时，那么x,y之间的函数关系就是反比例函数，即为y=S0/x； 注意由于面积是定值，大于0，所以反比例函数的图象只在第一象限； 图象y随x的增大而减小.,例2.面积一定的梯形，其上底长是下底长的 ,设上底长为x cm,高为y cm,且当x=5cm,y=6cm. (1)求y与x的函数关系式；(2)求当y=4cm时，下底长多少?,重点中学与你有约,解题技巧,(2)当y=4cm时，x=7.5cm3x=22.5cm,(1) x=5cm,y=6cm ，上底长是下底长的,下底长为15cm, 梯形的面积 =,答：下底长为22.5cm.,举一反三,思
3、路分析:（1）根据梯形的面积公式可得函数解析式； （2）直接把y=5代入解析式可求得x的值,面积一定的梯形，其上底长是下底长的 ，且当下底长x=10cm时，高y=6cm （1）求y与x的函数表达式； （2）当y=5cm时，下底长是多少？,失误防范,反比例函数在梯形面积中的应用： 当梯形面积一定时，梯形的上底和下底可用一个字母表示，高可用一字母表示，那么高和底之间可用函数关系表示，经过代入定值可得此关系式就是反比例函数； 解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值.,例3.某市某蔬菜生产基地在气温较低时，
4、用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18的条件下生长最快的新品种如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线y=k/x的一部分请根据图中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度18的时间有多少小时？ （2）求k的值； （3）当x=16时，大棚内的 温度约为多少摄氏度？,重点中学与你有约,解题技巧,（2）点B（12，18）在双曲线y=k/x上，k=216,（1）恒温系统在这天保持大棚温度18的时间为122=10小时,（3）当x=16时， 当x=16时，大棚内的温度约为13.5,举一反三,某蔬菜生产基地在气温较低
5、时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为20的条件下生长最快的新品种如图是某天大棚内温度y（）随时间x（小时）变化的函数图象，其中OA段是系统开启后的升温阶段，y与x成正比例，BC段是系统关闭后的降温阶段，y与x成反比例请根据图中信息解答下列问题： （1）求系统开启后升温阶段y关于x的函数表达式 （2）求系统关闭后降温阶段y关于x的函数表达式 （3）当大棚内气温低于16时，这种蔬菜将停止生长，则这种蔬菜这天的生长时间是多少小时？,举一反三,思路分析:（1）根据升温阶段函数的图象是直线确定为正比例函数，然后根据点A的坐标确定正比例函数的解析式； （2）根据降温阶段函数的图象是双曲线的一
6、部分确定为反比例函数，然后根据点B的坐标确定反比例函数的解析式； （3）分别代入y=16求得x的值后即可确定生长的时间.,失误防范,用图象描述分段函数的实际问题： （1）自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示； （2）各个分段中，要准确确定函数关系； （3）反比例函数的解析式确定只需要确定图象上一个点的坐标即可.,例4.如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60cm2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m设AD的长为x m，DC的长为y m （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条
7、件的所有围建方案,重点中学与你有约,解题技巧,（2）由 且x、y都是正整数， x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，,（1）如图，AD的长为xm,DC的长为ym，由题意，得xy=60.即y=60/x所求的函数关系式为,但2x+y26，0y12， 符合条件的有:x=5,y=12或x=6,y=10或x=10,y=6,答：满足条件的围建方案: AD=5m，DC=12m或AD=6m，DC=10m或AD=10m，DC=6m,举一反三,如图，学校打算用材料围建一个面积为18平方米的矩形ABCD的生物园，用来饲养小兔，其中矩形ABCD的一边AB靠墙，墙长为8米，设AD的长为y米，
8、CD的长为x米 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）若围成矩形ABCD的生物园的三边材料总长不超过18米，材料AD和DC的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案,举一反三,思路分析:（1）根据面积为18m2，可得出y与x之间的函数关系式； （2）由（1）的关系式，结合x、y都是正整数，可得出x的可能值，再由三边材料总长不超过18m，DC的长18，可得出x、y的值，继而得出可行的方案,失误防范,反比例函数在矩形面积中的应用： 当矩形面积一定时，矩形的两边长为x，y时，那么x,y之间的函数关系就是反比例函数，即为y=S0/x； 图象y随x的增大而减小； 对于x,y为整数值时，结合反比例关系式
9、可得出几对可能的x,y值.,例5. 工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600煅烧时温度y（ ）与时间 x（min）成一次函数关系；锻造时，温度 y（ ）与时间x（min）成反比例关系 （如图）已知该材料初始温度是32 （1）分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函 数关系式，并且写出自变量x的取值范围； （2）根据工艺要求，当材料温度低于 480 时，须停止操作，那么锻造的操作 时间有多长？,重点中学与你有约,解题技巧,（1）设锻造时的函数关系式y= ， 将点C（8,600）代入，得600= ，k=480
10、0， 锻造时解析式为当y=800时，800= ，x=6， 点B的坐标为（6，800）， 设煅烧时的函数关系式为y=kx+b，煅烧时解析式为y=128x+32（0x6）. （2）y=480时， 106=4， 锻造的操作时间有4分钟,举一反三,喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序，即需要将电热水壶中的水烧到100 ，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（ ）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y （ ）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）已知水壶中水的初始温度是20 ，降温过程中水温不低于20 （1）分别求出图中所对应的函数关系式，并 且
11、写出自变量x的取值范围； （2）从水壶中的水烧开（100 ）降到80就可以进行泡制绿茶，问从水烧开到泡茶需 要等待多长时间？,举一反三,思路分析:（1）将D点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点C和点B的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）将y=80代入反比例函数的解析式，从而求得答案,答案：（1）停止加热时，设y= ， 由题意得：50= ，解得：k=900，y= ，当y=100时，解得：x=9， C点坐标为（9，100），B点坐标为（8，100）， 当加热烧水时，设y=ax+20， 由题意得：100=8a+20，解得：a=10， 当加
12、热烧水，函数关系式为y=10x+20（0x8）； 当停止加热，得y与x的函数关系式 为 （1）y=100（8x9）；y= （9x45）；（2）把y=80代入y= ，得x=11.25， 因此从烧水开到泡茶需要等待3.25分钟,失误防范,反比例函数的应用： （1）把实际问题转化为数学问题，充分体现了数学知识来源于实际生活，服务于实际生活. （2）根据反比例函数图象求反比例函数解析式，只需从图象上找一个点坐标. （3）实际问题中，注意求自变量的取值范围，并注意图象的位置. 解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型,例6.某地计划用120180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程
13、需要运送的土石方总量为360万米3. （1）写出运输公司完成任务所需时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数表达式，并给出自变量x的取值范围； （2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？,重点中学与你有约,解题技巧,（1）由题意得，y= ，把y=120代入y= ，得x=3；把y=180代入y= ，得x=2； 自变量的取值范围是2x3.y= （2x3）. （2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3， 由题意，得 方程两边同乘以x
14、（x+0.5）得360（x+0.5）-360x=24x（x+0.5）. 化简得x2+0.5x-7.5=0,解得，x1=2.5，x2=3. 经检验x1=2.5，x2=3均是原方程的根， 但x2=3不符合实际意义，故舍去. 又2x3，所以x1=2.5满足条件. 即原计划平均每天运送土石方2.5万米3， 实际平均每天运送土石方3万米3,举一反三,市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承办了该项工程运送土石方的任务 （1）运输公司平均每天的工作量v（m3/天）与完成运送任务所需的时间t（天）之间有怎样的函数关系； （2）这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送
15、土石方104m3，则公司完成全部运输任务需要多长时间？ （3）当公司以问题（2）中的速度工作了40天后，由于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在50天内完成，公司至少需要再增加多少辆卡车才能按时完成任务？,举一反三,思路分析:（1）首先根据题意可知，运输公司平均每天的工作量v（m3/天）与完成运送任务所需的时间t（天）之间的函数关系为：v=106/t，是反比例关系； （2）将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （3）根据题意列式计算即可要先分别计算出平均每天每辆汽车运送土石方，100辆卡车工作40天运送的土石方，剩余的土石方在50天内全部运送完成需卡车，再计算公司要按时完成任务需
16、增加卡车数量,答案：（1）运输公司平均每天的工作量v（m3/天）与完成运送任务所需的时间t（天）之间的函数关系为v= （2）当v=104时， 即每天一共可运送土石方104m3答：公司完成全部运输任务需要100天时间 （3）平均每天每辆汽车运送土石方104100=100（m3）， 100辆卡车工作40天运送的土石方为10440=4105（m3）， 剩余的土石方在50天内全部运送完成需卡车（1064105）（10050）=120（辆）， 所以公司要按时完成任务需至少再增加卡车120100=20（辆） 答：公司至少需要再增加20辆卡车才能按时完成任务,失误防范,1.在工程与速度中的应用中工程、速度的
17、数量关系： 工作总量、工作效率、工作时间的关系： 工作总量=工作效率工作时间； 工作效率=工作总量工作时间； 工作时间=工作总量工作效率. 路程、速度、时间的关系： 路程=速度时间； 速度=路程时间； 时间=路程速度.,失误防范,2.反比例函数的应用其解题关键： （1）根据数量关系列出函数关系式； （2）根据数量关系找出关于x的不等式组 解决该题型题目时，根据数量关系得出函数关系式（或不等式组）是关键,例7.如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边的活动托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡，改变活动托盘B
18、与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况实验数据记录如下表：,（1）把上表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点；,重点中学与你有约,（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证； （3）当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少厘米？ （4）当活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？,重点中学与你有约,解题技巧,举一反三,如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验： 在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O
19、的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况实验数据记录如下：（1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y（N）与x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式； （2）当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少cm？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？,举一反三,思路分析:（1）观察可得：x，y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）把y=24代入解析式求解，可得答案,答案：（1）画图略 由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数设y= （k0） 把x=10，y=30代入得：k=300 y= 将其余各点代入验证均适合 y与x的函数关系式为：y= （2）把y=24代入y= 得：x=12.5 当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是12.5cm 随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数不断增大,失误防范,反比例函数应用类综合题： 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识，所以解此类问题一定要读懂题意，灵活运用所学知识.,
