1、例1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E,F分别是AO，AD的中点，若AB=6cm,BC=8cm,则AEF的周长=_cm.,重点中学与你有约,解题技巧,四边形ABCD为矩形， ABC=90，AC=BD,AD=BC， AB=6cm,BC=8cm, ,AEF的周长=AE+AF+EF=9cm,故答案为9.,点E,F分别是AO，AD的中点， EF是AOD的中位线，,举一反三,思路分析:根据矩形的性质，可以得到AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AC的长，再利用三角形中位线定理得出BEF的周长为BOC周长的一半求出即可,如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
2、，AOB=60,点E、F分别是BO、BC的中点,若AB=6cm,则BEF的周长为_cm,失误防范,三角形中位线的概念： 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线； 三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.,例2.如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ） A5.5 B5 C4.5 D4,重点中学与你有约,解题技巧,解一元二次方程x2-8x+15=0 ，得三角形两边分别为3和5.,由三角形中位线定理得中点三角形周长m的范围是：5m8,故选A.,设三角形第三边长为a,则2a8,三角形的周长
3、l范围是：10l16,举一反三,思路分析:本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，熟记定理以及各性质并求出中点三角形的周长的取值范围是解题的关键,如果三角形的两边分别是方程x29x+20=0的两个根，那么以这个三角形的中点为顶点的三角形的周长可能是（ ） A5.5 B5 C4.5 D4,失误防范,利用三角形中位线求周长： 如果三角形的两边分别是一元二次方程的两个根， 那么先解出一元二次方程，求出三角形的两边， 再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围， 然后求出原三角形的周长，然后根据
4、三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得中点三角形的周长等于原三角形的周长的一半求出中点三角形的周长的取值范围， 再根据各选项的数据选择即可,例3.如图，ABC的周长为26，点D,E都在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，ACB的平分线垂直于AD，垂足为P.若BC=10，则PQ的长为（ ） A B C3 D4,重点中学与你有约,解题技巧,BQ平分ABC，且BQAE， 在ABQ和EBQ中，ABQEBQ， AQ=EQ，BA=BE， 同理，CD=CA，AP=DP， ABC的周长=AB+BC+CA=AB+10+CA=26 AB+CA=16，BE+CD=16,10+DE=16,DE=
5、6 在ADE中，AQ=EQ，AP=DP， PQ是ADE的中位线， PQ= DE=3故选C.,举一反三,思路分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=DE，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，然后判断出AFE的周长= 1/2ABD的周长,如图，在ABC中，BCAC，点D在BC上，且DC=AC，ACB的平分线CE交AD与E，点F是AB的中点若ABD的周长是20，则AFE的周长为（ ） A5 B10 C12 D15,举一反三,失误防范,三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.,与中点有关的概念： 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角
6、平分线、底边的高重合) 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边,例4.点O是ABC所在平面内一动点，连接OB,OC并将AB,OB,OC,AC中点D,E,F,G依次连接起来，设DEFG能构成四边形. （1）如图，当点O在ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）当点O在ABC外时，（1）的结论 是否成立？（画出图形，指出结论，无 须说明理由；） （3）若四边形DEFG是菱形，则点O的位 置应满足什么条件？试说明理由,重点中学与你有约,解题技巧,（1）证明：AB、OB、OC、AC中点分别为D、E
7、、F、G，DG、EF分别为ABC和OBC的中位线， DG BC，EF BC ，DG EF， 四边形DEFG是平行四边形； （2）如图所示，成立， 理由： 由（1）知，DG BC，EF BC ， DG EF，四边形DEFG是平行四边形； （3）当点O满足OA=BC，四边形DEFG是菱形 理由：由题意，DG= BC，DE= OA ， OA=BC,DG=DE, 四边形DEFG是菱形,举一反三,已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，求证：四边形EFGH是菱形,思路分析:由菱形的性质结合三角形中位线定理，可得EF=FG=GH=HG，
8、可证明四边形EFGH是菱形,答案：E、F为OA、OB的中点， EF为OAB的中位线， EF=0.5AB，同理可得FG=0.5BC，GH=0.5CD，HE=0.5AD， 又四边形ABCD为菱形， AB=BC=CD=DA， EF=FG=GH=HE， 四边形EFGH为菱形,失误防范,菱形常用三种判别方法： 定义； 四边相等； 对角线互相垂直平分,例5.如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，BNAN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则ABC的周长等于（ ） A38 B39 C40 D41,重点中学与你有约,解题技巧,延长BN交AC于点D， AN平分BAD，BAN=DAN， 又ANB
9、D于点N，ANB=AND=90， ABD=ADB, AD=AB=10，BN=ND， 又BM=NC，CD=2MN=23=6，AC=AD+CD=10+6=16， ABC的周长为：AB+AC+BC=10+16+15=41 故选D,5.如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC，BNAN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则ABC的周长等于（ ） A38 B39 C40 D41,举一反三,如图，D是ABC的BC边的中点，AE平分BAC，AECE于点E，且AB=10，AC=16，则DE的长度为 ,思路分析:延长AB，CE交于点F，通过ASA证明EAFEAC，根据全等三角形的性质得到AF=AC
10、=16，EF=EC，进一步得到BF=6，再根据三角形中位线定理即可求解 ,答案：延长AB，CE交于点F AE平分BAC，AECE，EAF=EAC，AEF=AEC， 又AE=AE,EAFEAC（ASA），AF=AC=16，EF=EC， BF=6， 又D是BC中点，BD=CD，DE是BCF的中位线， DE=0.5BF=3 故答案为：3,失误防范,三角形中位线的性质： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.,例6.如图，在ABC中，B=2C，ADBC于D，M为BC的中点，AB=10cm，则MD的长为 cm.,重点中学与你有约,解题技巧,如图，取AB中点N，连接DN，MN ADBD，
11、N为AB中点，AB=10， DN=0.5AB=BN=5NDB=B 又M,N分别是BC，AB的中点 MNAC，NMD=C 又B=2C，NDB=2NMD 又NDB=NMD+DNM NMD=DNMDM=DN=5 故DM的长为5,6.如图，在ABC中，B=2C，ADBC于D， M为BC的中点，AB=10cm，则MD的长为 cm.,举一反三,如图，在ABC中，AB=12，AC=18，AD是BAC的平分线，过点B作AD的垂线，交AD于D，M是BC的中点，求MD的长,思路分析:延长BD交AC于点N，易证ADNADB，则AN=AB，DN=BD，则DM是BCN的中位线，根据三角形的中位线定理即可求解,答案：延长
12、BD交AC于点N 在ADN和ADB中， NAD=BAD,AD=AD, ADN=ADB, ADNADB， AN=AB=12，ND=ND， CN=ACAN=1812=6， ND=BD，CM=BM， DM=0.5CN=0.56=3,失误防范,与中点有关的辅助线： 秘籍一：倍长中线 解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。,失误防范,秘籍二：构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的.,失误防范,秘籍三：构造三线合一 解读：只要出现等腰三角形，或共
13、顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口,失误防范,秘籍四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系,例7.如图，以ABC的边AB,AC边为斜边向形外作RtABD和RtACE,且使ABD=ACE,M是BC的中点，求证：DM=ME.,重点中学与你有约,解题技巧,如图，取AB中点P，连接DP，PM，取AC中点Q，连接QE，QM.由题意，得DP= AB，QE= AC，PM AC，MQ AB，DP=QM，PM=QE， 又DPM=1+2=2DAB+BAC， MQE=3+4=2EAC+BAC， AB
14、D=ACE, DAB=EAC，DPM=EQM，DPMMQE，故DM=ME,7.如图，以ABC的边AB,AC边为斜边向形外作RtABD和RtACE,且使ABD=ACE, M是BC的中点，求证：DM=ME.,举一反三,如图，以任意ABC的边AB和AC向形外作等腰RtABD和等腰RtACE，F、G分别是线段BD和CE的中点，求CD:FG的值.,举一反三,思路分析:取BC的中点H，连接BE、FH、GH，求出BAE=DAC，然后利用“边角边”证明ABE和ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=CD，全等三角形对应角相等可得ABE=ADC，然后求出BECD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第
15、三边的一半可得FHCD且FH=0.5CD，GHBE且GH=0.5BE，然后求出HFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得FH:FG的值，然后求出CD:FG的值即可,答案：如图，取BC的中点H，连接BE、FH、GH， BAD=CAE=90，BAD+BAC=CAE+BAC，即BAE=DAC， 又AB=AD,AC=AE,ABEADC（SAS），BE=CD，ABE=ADC， BDC+DBE=BDA+ABD=90，BECD， 又F、G分别是线段BD和CE的中点， FH、GH分别是BCD和BCE的中位线， FHCD且FH=0.5CD，GHBE且GH=0.5BE， HFG是等腰直角三角形，,如图，
16、以任意ABC的边AB和AC向形外作等腰 RtABD和等腰RtACE，F、G分别是线段BD和 CE的中点，求CD:FG的值.,失误防范,1.构造三角形中位线： 考点说明：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来平移也有类似功效,失误防范,2.三角形中位线辅助线的应用： 三角形的中位线定理是几何中一个重要定理，它不仅反映
17、了图形间线段的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关系，利用三角形中位线定理可以解决许多相关的问题：借助中位线定理选择结论；借助中位线定理求长度；借助中位线定理说理.,失误防范,3.与中点有关的概念： 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边 直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形,
