1、3.3.2 函数的极值与导数 课标解读 1了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(难点) 2会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)(重点、易错点),1极小值点与极小值 (1)特征：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值_，f(a)0. (2)符号：在点xa附近的左侧f(x)0，右侧_ (3)结论：点a叫作函数yf(x)的极小值点，_叫作函数yf(x)的极小值,教材知识梳理,都小,f(x)0,f(a),2极大值点与极大值 (1)特征：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值_，f(b)0. (2)符号：在点xb
2、附近的左侧f(x)0，右侧_ (3)结论：点b叫作函数yf(x)的极大值点，f(b)叫作函数yf(x)的极大值,都大,f(x)0,3极值的定义 (1)极小值点、极大值点统称为_ (2)极大值与极小值统称为_ 4可导函数在某点取得极值的必要条件 可导函数yf(x)在点xx0处取得极值的必要条件是_,极值点,极值,f(x)0,5求函数yf(x)的极值的方法 解方程f(x)0，当f(x0)0时， (1)如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极大值 (2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值,f(x)0,f(x)0,知识点 函数的极值 探究1：如图是函数yf(x)的导函数的
3、图像，请根据图像完成下列问题：,核心要点探究,(1)请写出函数yf(x)在区间2，5上的单调区间 提示 由yf(x)导数的图像知，f(x)在区间2，1和2，4上f(x)0，在1，2，4，5上f(x)0，故函数yf(x)的单调递减区间为2，1和2，4，递增区间为1，2和4，5,(2)函数yf(x)在2，5上有没有极值点，若有，请指出极值点 提示 在x1的左侧f(x)0，故x1是f(x)的极小值点；在x2的左侧f(x)0，右侧f(x)0，故x4是f(x)的极小值点,探究2：根据函数极值的概念，回答下列问题： (1)函数的极值点是否只能有一个？区间的端点能不能成为函数的极值点？ 提示 函数在其定义域
4、上的极值点可能不止一个，也可能没有；极值点是函数定义域中的点，因而端点不可能是极值点 (2)函数的极值点与函数的单调区间有什么关系？ 提示 极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点，极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点,(3)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是什么？ 提示 f(x0)0，且在x0的左、右两侧，f(x)的符号不同,题型一 利用导数求函数的极值,例1,【自主解答】 (1)f(x)x22x3.令f(x)0，得x13，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,规律总结 1求极值的步骤 (1)求方程f(x)0在函数定义域内的所有根； (2)用f(x)0的根
5、将定义域分成若干小区间，列表； (3)由f(x)在各个小区间内的符号，判断f(x)0的根处的极值情况 2表格给出了当x变化时y，y的变化情况，表格直观清楚，容易看出具体的变化情况，并且能判断出是极大值还是极小值，最后得出函数的极大值、极小值,变式训练,解析 (1)函数f(x)的定义域为R. f(x)3x2123(x2)(x2) 令f(x)0，得x2或x2. 当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：,(1)已知函数f(x)x3ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是_ (2)(2018北京)设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex. 若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为0
6、，求a； 若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围,题型二 已知函数的极值求参数范围,例2,()若0a1，当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，此时x1为f(x)的极大值点 所以，综上a的取值范围为(1，) 【答案】 (1)(，0) (2)见自主解答,规律总结 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性,变式训练,已知f(x)x3bx2cx2. (1)若f(x)在x1时有极值1，求b，c的值； (2)在
7、(1)的条件下，若函数yf(x)的图像与函数yk的图像恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围,题型三 函数极值的综合应用,例3,规律总结 1三次函数有极值的充要条件 三次函数yax3bx2cxd(a0)有极值导函数f(x)3ax22bxc0的判别式4b212ac0. 2三次函数的单调性与极值(设x10，则f(x)在R上是增函数； 若a0，则f(x)在R上是减函数,(2)当0时，若a0，则f(x)的增区间为(，x1)和(x2，)，减区间为(x1，x2)，f(x1)为极大值，f(x2)为极小值；若a0，则f(x)的减区间为(，x1)和(x2，)，增区间为(x1，x2)，f(x1)为极小值，f(x2
8、)为极大值(如图所示).,3已知a为实数，函数f(x)x33xa. (1)求函数f(x)的极值，并画出其图像(草图)； (2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根？ 解析 (1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23， 令f(x)0，得x1或x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,对点训练,由表可知函数f(x)的极小值为 f(1)a2；极大值为f(1)a2. 由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图像， 如图所示，这里，极大值a2大于极小值a2.,由表可知函数f(x)的极小值为 f(1)a2；极大值为f(1)a2. 由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图像， 如图所示，这里，极大值a2大于极小值a2.(2)当x时，f(x)，当x时，f(x)，故f(x)0恰有两实根时a20或a20，a2.,规范解答(八) 用极值求解含有参数的函数问题,例1,典题示例,已知函数f(x)ax2bln x，其中ab0.求函数有极值时，a，b满足的条件,典题试解,
