1、3.3.3 函数的最大(小)值与导数,新知探求,课堂探究,新知探求 素养养成,知识点一,函数y=f(x)在闭区间a,b内的图象如图所示:,函数y=f(x)在闭区间a,b上的最值,问题1:你能找出y=f(x)在闭区间a,b内的极大值、极小值吗? 答案:可以.f(x1),f(x3)都是极大值;f(x2),f(x4)都是极小值. 问题2:你能找出y=f(x)在闭区间a,b内的最大值、最小值吗? 答案:最大值是f(x3),最小值是f(x2). 问题3:函数的极值一定是最大值或最小值吗? 答案:不一定,如f(x1)是极大值,但它不是最大值,f(x4)是极小值,但它不是最小值. 梳理 如果在区间a,b上函
2、数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有 和 .函数的最值必在端点处或极值点处取得.,连续不断,最大值,最小值,知识点二,(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 . (2)将函数y=f(x)的各极值与 比较,其中 的一个是最大值, 的一个是最小值.,求y=f(x)在a,b上的最大(小)值的步骤,极值,端点处的函数值f(a),f(b),最大,最小,名师点津:(1)若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在a,b内一定有最值. (2)若函数f(x)在a,b内是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. (3)若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最
3、值点.,题型一,求函数的最值,课堂探究 素养提升,【例1】 求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,方法技巧 (1)求函数最值时,若函数f(x)的定义域是闭区间,则需比较极值点处函数值与端点函数值的大小才能确定函数的最值.(2)若f(x)的定义域是开区间且只有一个极值点,则该极值点就是最值点.(3)若f(x)为单调函数,则端点就是最值点.,即时训练1:函数y=2x3-3x2-12x+5在-2,1上的最大值、最小值分别是( ) (A)12;-8 (B)1;-8 (C)12;-15 (D)5;-16,解析:y=6x2-6x-12,由y=0x=-1或x=2(舍去). x=-2时
4、y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8. 所以ymax=12,ymin=-8.故选A.,A,题型二,由函数的最值求参数,(2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8,求a的值.,方法技巧 已知函数最值求参数的思路 先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)求解.,即时训练2:(2015全国卷)已知函数f(x)=ln x+a(1-x). (1)讨论f(x)的单调性;,(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.,题型三,与函数最值有关的不等式恒成立问题,【例3】 (2017全国卷)设函数f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论f(
5、x)的单调性;,(2)当x0时,f(x)ax+1,求a的取值范围.,方法技巧 恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决,常用分类讨论(求最值)法或分离参数法.在不等式或方程中,参数只出现一次,或在几个项中出现的参数只是一次的形式,可以对不等式或方程进行变形,把参数分离到一边去,而另一边则是x的表达式.,解:(1)f(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a), 由a1知,2a2,当x0,故f(x)在区间(-,2)上是增函数; 当22a时,f(x)0, 故f(x)在区间(2a,+)上是增函数. 综上,当a1时,f(x)在区间(-,2)和(2a,+)上是增函数,在区间(2,2a)上
6、是减函数.,(2)若当x0时,f(x)0恒成立,求a的取值范围.,(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.,题型四,易错辨析“存在”与“任意”分辨不清,错解:选A. 纠错:f(x0)0有解等价于a小于等于h(x)=x-xln x的最大值,而不是a大于等于h(x)=x-xln x的最大值.,学霸经验分享区,函数的最大值、最小值是比较整个定义域区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的.函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.,谢谢观赏！,
