1、3.4 生活中的优化问题举例,新知探求,课堂探究,新知探求 素养养成,知识点,梳理 (1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为 .,优化问题,优化问题,(2)解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,数学建模,名师点津:利用导数解决生活中优化问题的方法 求实际问题中的最大值或最小值时,一般是先设自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域,利用求函数的最值的方法求解,注意结果应与实际情况相结合.用导数求解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在开区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点.,题型一,与几何有关的最值问题,
2、课堂探究 素养提升,【例1】 (2018青岛高二检测)用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?,解:设容器的高为x cm,容器的体积为V(x) cm3. 则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x3-276x2+4 320x(00,V(x)是增函数; 当10x24时,V(x)0,V(x)是减函数. 因此,在定义域(0,24)内,只有当x=10时函数V(x)取得最大值,其最大值为V(10)=10(90-20)(48-20)=19 600(cm3
3、). 故当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积是19 600 cm3.,方法技巧 解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值.,即时训练1:某出版社出版一读物,一页上所印文字占去150 cm2,上、下要留1.5 cm空白,左、右要留1 cm空白,出版商为节约纸张,应选用怎样尺寸的页面?,题型二,费用最省问题,(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?,方法技巧 实际问题中,若在定义域内只有一个极值点,则它就是最值点;若在定义域内函数单调,则根据单调性求最值.,(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)
4、达到最小,并求最小值.,题型三,利润最大问题,(2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本),即时训练3:某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0x21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;,解:(1)若商品降低x元,则一个星期多卖的商品为kx2件. 由已知条件,得k22=24,解得k=6. 若记一个星期的商品销售利润为f(x), 则有f(x)=(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9 072,x0,21.,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?,题型四,易错辨析忽视分类讨论致误,(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r.,纠错:没有对r进行讨论.,谢谢观赏！,
