1、2.基本不等式,1.重要不等式 定理1:如果a,bR,那么a2+b22ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.基本不等式(3)两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.,名师点拨1.重要不等式与基本不等式的区别,2.基本不等式的常见变形,3.利用基本不等式求最值 对两个正实数x,y. (1)如果它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积 P 取得最大值; (2)如果它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和 S 取得最小值.,名师点拨利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即 (1)各项或各因式为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式能取得相等的值.,
2、做一做2 若x0,y0,且x+y= ,则xy的最大值为( ),答案：D,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)对于任意的实数x,y,都有x2+y22xy. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,运用基本不等式求最值或取值范围,a+b与ab的关系,再利用解不等式消去ab建立关于a+b的不等式进行求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.运用基本不等式求最值的一些技巧:含有多个变量的条件求最值问题,一种方法是减少变量的个数,将问题转化为只
3、含有一个变量的函数的最值问题进行解决.另一种方法是采用常值代换的方法,先对代数式变形后,再运用基本不等式进行求解. 2.两个正数的和与积的转化:基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或范围.在条件等式中,如果同时含有两个变量的和与积的形式,就可以先直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,再通过解关于“和式”或“积式”的不等式进行求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1 (1)已知00,y0,且x+2y=1,则 的最小值为 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,运用基本不等式证明相关不
4、等式,分析：对于(1),因为m0,所以可把 和6m分别看作基本不等式中的 a和b,直接利用基本不等式证明;对于(2),考虑到a+b+c=1,首先将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a+b+c,化简后再利用基本不等式,然后根据不等式的性质证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟利用基本不等式证明不等式的方法与技巧 1.用基本不等式证明不等式时,首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构特点和使用条件,然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明. 2.对含有条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找出变形的思路,构
5、造出基本不等式.若两次(或两次以上)使用基本不等式的传递性,则应保证等号成立的条件一致.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,运用基本不等式解决实际问题,【例3】 已知26辆货车以相同速度v(单位:km/h)由A地驶向400 km处的B地,每两辆货车的间距为d km,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20时,d=1. (1)写出d关于v的函数关系式; (2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时?此时货车的速度为多少? 分析：对于(1),可由已知数据代入求得;对于(2),首先列出时间与速度的关系式,然后借助基本不等式求解.,探究一,探究二,探
6、究三,思维辨析,解：(1)由题意可设d=kv2,其中k为比例系数,k0. 因为当v=20时,d=1,所以1=k202,(2)因为每两辆货车的间距为d km,所以最后一辆货车与第一辆货车的间距是25d km,所以最后一辆货车到达B地所需的时间为,故26辆货车都到达B地最少需要10 h,此时货车的速度为80 km/h.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟用基本不等式求解实际问题的盲点: (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)
7、内求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 某公司一年购买某种货物400 t,每次都购买x t,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= t.,答案：20,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽视基本不等式成立的条件而致错 典例若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,答案：C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得本题错解中忽视了基本不等式中等号成立的条件,没有注意到两次运用基本不等式时等号成立的条件不一致,从而出现错误.连续使用基本不等式时取等号的条件很严格,要求同时满足
8、任何一次的字母取值存在且一致.因此尽量不要连续两次或两次以上使用基本不等式.若连续使用两次或两次以上时,应保证每次等号成立的条件都相等.此外,在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的办法是变量替换或常数值“1”的替换,即首先由已知条件得到某个式子的值为常数,然后将待求最值的代数式乘“1”,最后对代数式进行变形整理,从而可利用基本不等式求最值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练(2017吉林三模)已知x0,y0,x+2y+2xy-8=0,则x+2y的最小值是 ( ),令x+2y=t(t0),则t2+4t-320,解得t4或t-8(舍去),因此x+2y4,即x+2y的最小值是4,故
9、选B. 答案：B,1 2 3 4 5,1.下列不等式中恒成立的是( ),答案：B,1 2 3 4 5,答案：C,1 2 3 4 5,答案：C,3.某公司要租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运输费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.那么要使这两项费用之和最小,待建仓库与车站的距离为( ) A.3千米 B.8千米 C.5千米 D.6千米,解析：设待建仓库与车站的距离为x千米.,为5千米时,每月土地占用费和每月库存货物的运输费之和最小.,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,
