1、3.三个正数的算术-几何平均不等式,1.三个正数的算术-几何平均不等式 (1)如果a,b,cR+,那么a3+b3+c33abc,当且仅当a=b=c时,等号成立. (2)定理3:如果a,b,cR+,那么 ,当且仅当a=b=c时,等号成立. (3)三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.,名师点拨1.不等式成立的条件:,2.不等式的变形及其应用:,做一做1 若正数a1,a2,a3满足a1a2a3=8,则有( ) A.a1+a2+a32 B.a1+a2+a36,答案：B,2.n个正数的算术-几何平均不等式 对于n个正数a1,a2,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即 ,当且仅当a1=a2=a
2、n时,等号成立.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)对于任意的实数x,y,z,都有x3+y3+z33xyz. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,运用三个正数的算术-几何平均不等式求最值 【例1】 求解下列各题: (1)若00,且xy2=4,求x+2y的最小值. 分析：(1)应构造和为定值的形式;(2)应构造积为定值的形式;(3)应构造积为定值的形式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟应用三个正数的算术-几何平均不等式求最值的方法与技巧 1.利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值,可简记为“积定
3、和最小,和定积最大”. 2.应用三个正数的算术-几何平均不等式求最值,仍然要满足三个条件,即“一正、二定、三相等”.其中定值条件决定着三个正数的算术-几何平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如配系数、拆项、分离常数、平方变形等. 3.拼凑定值是利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值的关键,求代数式的和或者积的最值时,题目中的定值条件往往无法满足,此时可以将三个正数的算术-几何平均不等式的取等号的条件作为出发点,拼凑定和(或积),从而求得积(或和)的最大(或小)值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1 (1)若x0,则2x+ 的最小值为 . (2)函数y=2cos2xsi
4、n4x的最大值等于 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,运用三个正数的算术-几何平均不等式证明不等式 【例2】 (1)已知a,b,cR+,分析：(1)欲证不等式的右边为常数3,联想到不等式a+b+c 3 (a,b,cR+),故将所证不等式的左边进行恰当的变形;(2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以不但要用一次三个正数的算术-几何平均不等式,而且还要用一次基本不等式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟证明不等式的方法与技巧 观察式子的结构特点,分析题目中的条件,若具备“一正、二定、三相等”的条件,则直接应用该定理.若题目中不具备该条件,要注意经过
5、适当的恒等变形后再使用该定理证明.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 (1)已知x,y,z0,求证(x+y+z)327xyz.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,运用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题 【例3】 制造容积为 立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板的价格为每平方米30元,用来做侧面的金属板的价格为每平方米20元,若使材料成本最低,则此圆柱形桶的底面半径和高分别为多少? 分析：首先用底面半径和高表示出圆柱形桶的材料成本,其次由容积得到底面半径和高的关系,然后将圆柱形桶的材料成本表示为半径的函数,最后用三个正数的算术-几何平均不等式求最值,并确定等号成立的条件.
6、,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解：设此圆柱形桶的底面半径为r米,高为h米,则底面积为r2平方米,侧面积为2rh平方米. 设材料成本为y元,则y=30r2+40rh.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟利用三个正数的算术-几何平均不等式解决实际问题的一般步骤 1.理解题意,设变量,设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为函数. 2.建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值问题. 3.在定义域内,利用三个正数的算术-几何平均不等式求出函数的最值. 4.验证不等式中等号成立的条件,得出结论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 在表面积等于18的长方体
7、中,求其体积的最大值. 解：设长方体相交于同一点的三条棱长分别为a,b,c,则长方体的体积为V=abc,其表面积为S=2ab+2bc+2ca=18. 由三个正数的算术-几何平均不等式得,探究一,探究二,探究三,思维辨析,误用三个正数的算术-几何平均不等式而致错,纠错心得错解中虽然对代数式进行了变形与分解,也构造了定值,但等号成立的条件无法满足,因此所求最值是错误的.在利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值时,三个条件缺一不可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 若x0,求y=x(1-x2)的最大值.,1 2 3 4 5,1.下列结论正确的是( ),解析：当a,b,cR时,a2,b2
8、,c20,由三个正数的算术-几何平均不等a2=b2=c2时,等号成立),故选项C正确. 答案：C,1 2 3 4 5,答案：B,1 2 3 4 5,3.若a0,b0,且a+2b=1,则ab2的最大值等于( ),答案：A,1 2 3 4 5,4.若长方体的体积为8,则其表面积的最小值等于 . 解析：设长方体相交于同一点的三条棱长分别为a,b,c,则依题意有abc=8. 而长方体的表面积当且仅当a=b=c=2时,等号成立,即长方体的表面积的最小值为24. 答案：24,1 2 3 4 5,解：甲先到达B地,理由如下. 设A,B两地间的距离为s(s0),甲从A到B所用的时间为t1,乙从A到B所用的时间为t2,
