1、1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质,第一章 1.3 二项式定理,学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数. 2.理解二项式系数的性质并灵活运用.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,(ab)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：,知识点 “杨辉三角”与二项式系数的性质,思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？,思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？,答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.,答案 2,4,8,
2、16,32,64，其系数和为2n.,思考3 二项式系数的最大值有何规律？,答案 当n2,4,6时，中间一项最大，当n3,5时中间两项最大.,梳理 (1)杨辉三角的特点 在同一行中，每行两端都是 ，与这两个1等距离的项的系数 . 在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 ，即 .,1,相等,和,(2)二项式系数的性质,等距离,二项式系数,2n,偶数,2n,2n1,1.杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.( ) 2.二项式展开式的二项式系数和为 ( ) 3.二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,例1 (1)杨辉三角如图所示，杨
3、辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是 A.第6行 B.第7行 C.第8行 D.第9行,类型一 与杨辉三角有关的问题,答案,解析 由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1， 故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除.,解析,(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于 A.144 B.146 C.164 D.461,解析,答案,反思与感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路,跟踪训练1 如图所示，在由二
4、项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左至右的第14个数与第15个数的比为23.,答案,解析,34,解析 由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为23，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，,所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是23.,例2 已知(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5. 求下列各式的值： (1)a0a1a2a5；,解 令x1，得a0a1a2a51.,类型二 二项式系数和问题,解答,(2)|a0|a1|a2|a5|；,解 令x1，得35a0a1a2a3a4a5.,解答,所|a0|a1|a2|a5| a0a1a2a3a4a535
5、243.,(3)a1a3a5.,解 由a0a1a2a51， a0a1a2a535， 得2(a1a3a5)135.,解答,引申探究 在本例条件下，求下列各式的值： (1)a0a2a4；,解 因为a0a1a2a51， a0a1a2a535.,解答,(2)a1a2a3a4a5；,解 因为a0是(2x1)5展开式中x5的系数， 所以a02532. 又a0a1a2a51， 所以a1a2a3a4a531.,解答,(3)5a04a13a22a3a4.,解 因为(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5. 所以两边求导数得10(2x1)45a0x44a1x33a2x22a3xa4. 令x1得5a0
6、4a13a22a3a410.,解答,反思与感悟 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可. (2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，,跟踪训练2 在二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和；,解 设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.,解答,(2)各项系数之和；,解 各项系数之和为a0a1a2a9， 令x1，
7、y1， 所以a0a1a2a9(23)91.,解答,(3)所有奇数项系数之和.,解 令x1，y1，可得 a0a1a2a959， 又a0a1a2a91，,解答,例3 已知f(x)( 3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项；,类型三 二项式系数性质的应用,解答,解 令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n2n992. (2n)22n9920， (2n31)(2n32)0， 2n31(舍去)或2n32，n5. 由于n5为奇数， 展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，,(2)求展
8、开式中系数最大的项.,解答,假设Tk1项系数最大，,kN，k4，,反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论. 当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. (2)展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(abx)n(a，bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1， A2，An，且第k1项最大，应用 解出k，即得出系数的最大项.,跟踪训练3 写出(xy)11的展
9、开式中： (1)二项式系数最大的项；,解 二项式系数最大的项为中间两项：,解答,(2)项的系数绝对值最大的项；,解 (xy)11展开式的通项为,解答,(3)项的系数最大的项和系数最小的项；,解 由(2)知中间两项系数绝对值相等， 又第6项系数为负，第7项系数为正，,解答,(4)二项式系数的和；,解答,(5)各项系数的和.,达标检测,A.8 B.6 C.4 D.2,1.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是,解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和， 所以4a10，得a6.,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,2.(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是 A.n，n1
10、 B.n1，n C.n1，n2 D.n2，n3,解析 2n1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，,1,2,3,4,5,即第n1项与第n2项，故选C.,答案,解析,解析 令x1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，,1,2,3,4,5,答案,解析,4.设(32x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为_.,解析 令x1，得a0a1a2a3a41. ,1,2,3,4,5,15,当k4时，x4的系数a416. 由得a0a1a2a315.,答案,解析,5.已知 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为_.,1,2,3,4,5,则第5项的二项式系数最大，,1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出. 2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋的值为0,1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握. 3.注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数. (2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k0,1,2，n.,规律与方法,
