1、2.4 正态分布,第二章 随机变量及其分布,学习目标 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间(，(2，2，(3，3的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 正态曲线,思考 函数f(x) ，xR的图象如图所示.试确定函数f(x)的解析式.,由函数表达式可知，函数图象的对称轴为x，,(2)正态曲线的性质 曲线位于x轴 ，与x轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 对称；,梳理 (1)正态曲线,上方,函数，(x) ，x(，)，其中实数，(0)为参数，我们称，(x)的图象为正态分布密度曲
2、线，简称正态曲线.,x,曲线在x处达到峰值 ；,曲线与x轴之间的面积为 ； 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； 当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：,1,知识点二 正态分布,一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb) ，则称随机变量X服从正态分布.正态分布完全由参数 和 确定，因此正态分布常记作N(，2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2).,知识点三 3原则,1.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)P(X) ； (2)P(2X2)
3、； (3)P(3X3) . 2.通常服从正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值.,0.682 6,0.997 4,0.954 4,1.函数，(x)中参数，的意义分别是样本的均值与方差.( ) 2.正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的.( ) 3.正态曲线可以关于y轴对称.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,例1 如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差.,类型一 正态曲线的图象的应用,解答,解 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x20对称，,反思与感悟 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应
4、抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x，二是最大值为 .这两点确定以后，相应参数，便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式.,跟踪训练1 某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是,A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同,解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.,答
5、案,解析,例2 设XN(1,22)，试求： (1)P(1X3)；,解 因为XN(1,22)，所以1，2. P(1X3)P(12X12) P(X)0.682 6.,类型二 利用正态分布的对称性求概率,解答,(2)P(3X5)；,解 因为P(3X5)P(3X1)，,解答,(3)P(X5).,解答,引申探究 本例条件不变，若P(Xc1)P(Xc1)，求c的值.,解 因为X服从正态分布N(1,22)，所以对应的正态曲线关于x1对称.又P(Xc1)P(Xc1)，,解答,反思与感悟 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x对称的，且概率的和为1，故关于直线x对称的区间上概率相等
6、.如： P(Xa). (2)“3”法：利用X落在区间(，(2，2，(3，3内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解.,跟踪训练2 已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)等于 A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2,解析 随机变量服从正态分布N(2，2)， 2，对称轴是x2. P(4)0.8，P(4)P(0)0.2， P(04)0.6， P(02)0.3.故选C.,答案,解析,例3 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5 000个，试求： (1)这批零件中尺寸在1822 mm间的零件所占的百
7、分比；,解 XN(20,4)，20，2，18， 22， 于是尺寸在1822 mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.,类型三 正态分布的应用,解答,(2)若规定尺寸在2426 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？,解 314，326，216，224，,解答,因此尺寸在2426 mm间的零件大约有5 0002.15%108(个).,反思与感悟 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(，(2，2，(3，3三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.,跟踪训练3 在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同
8、学成绩在8085分的有17人，该班同学成绩在90分以上的有多少人？,解 成绩服从正态分布N(80,52)， 80，5，则75，85， 成绩在(75,85内的同学占全班同学的68.26%，成绩在(80,85内的同学占全班同学的34.13%，设该班有x人，则x34.13%17，解得x50. 2801070，2801090， 成绩在(70,90内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%，即有502.28%1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人.,解答,达标检测,A.12 C.12，12，12,解析 根据正态曲线的特点：正态分布曲线是一条关于直线x对称，在x处取得最
9、大值的连续曲线：当一定时，越大，曲线的最高点越低且较平稳，反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭.故选A.,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,2.正态分布N(0,1)在区间(2，1)和(1,2)上取值的概率为P1，P2，则二者大小关系为 A.P1P2 B.P1P2 C.P1P2 D.不确定,解析 根据正态曲线的特点，图象关于x0对称，可得在区间(2，1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等.,1,2,3,4,5,答案,解析,3.设随机变量服从正态分布N(，2)，且二次方程x24x0无实数根的概率为 ，则等于 A.1 B.2 C.4 D.不能确定,1,2,3,4,5,解析 依题意可知
10、90，15， 故P(60X120)P(90215X90215)0.954 4, 1 0000.954 4954， 故大约有学生954人.,答案,解析,4.已知服从正态分布N(，2)的随机变量在区间(，(2，2和(3，3内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120内的学生大约有 A.997人 B.972人 C.954人 D.683人,1,2,3,4,5,又P(Xc1)P(Xc1)， 故有2(c1)(c1)2， c2.,解答,5.设随机变量XN(2,9)，若P(Xc1)P(Xc1). (1)求c的值；,解 由XN(2,9)可知，密度函数关于直线x2对称(如图所示)，,1,2,3,4,5,解答,(2)求P(4X8).,解 P(4X8)P(223X223)0.954 4.,1,2,3,4,5,1.理解正态分布的概念和正态曲线的性质. 2.正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)熟记P(a)， 若b，则P(Xb) .,规律与方法,
