1、第二十四章 圆,24.1 圆的有关性质,第2课时 垂直于弦的直径,课前预习,A. 圆的对称性： （1）轴对称性：圆是轴对称图形，有_条对称轴，任何一条 _都是它的对称轴； （2）中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是_.,无数,经过圆心（或直径所在）的直线,圆心,课前预习,1. 如图24-1-13所示: （1）若MNAB，MN为直径，则_，_，_； （2）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则_，_，_； （3）若MNAB，AC=BC，则_，_，_； （4）若AM=BM，MN为直径，则_，_，_.,AC=BC,MNAB,MN为直径,MNAB,AC=BC,课堂讲练,典型例题,知识点1：垂径
2、定理 【例1】 如图24-1-14，AB是O的直径，弦CDAB于点E，若AB=8，CD=6，求BE的长.,课堂讲练,解：如答图24-1-4所示，连接OC. 弦CDAB于点E，CD=6， CE=ED= CD=3. 在RtOEC中，OEC=90， CE=3，OC=4， OE= BE=OB-OE=4-,课堂讲练,知识点2：垂径定理的推论 【例2】 如图24-1-16，点A，B，C在圆O上，OC平分AB于点D，若O的半径是10 cm，AB=12 cm，求CD的长.,课堂讲练,解：O的半径是10 cm，弦AB的长是12 cm，OC是O的半径且OC平分AB， OCAB. OA=OC=10（cm）,AD=
3、AB=6（cm）. 在RtAOD中，OA=10 cm， AD=6 cm， OD= =8（cm）. CD=OC-OD=10-8=2（cm）.,课堂讲练,1. 如图24-1-15所示，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D两点. 求证：AC=BD.,举一反三,证明：如答图24-1-5,过点O作 OEAB，垂足为点E, 则AE=BE，CE=DE， AE-CE=BE-DE，即AC=BD.,课堂讲练,2. 如图24-1-17，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是 的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8 cm，DE=2 cm，求OD的长.,解：E为 的中点，OEAC. AD=
4、 AC=4（cm）. OD=OE-DE=（OE-2） cm，OA=OE， 在RtOAD中，OA2=OD2+AD2，即OA2=（OE-2）2+42. 又OA=OE，解得OE=5. OD=OE-DE=3（cm）.,分层训练,【A组】,1. 圆的对称轴是（ ）A. 弦 B. 半径 C. 直径 D. 经过圆心的直线,D,分层训练,2. 如图24-1-18，O中弦AB垂直直径CD于点E，则下列结论：AE=BE； ； ；EO=ED. 其中正确的有（ ） A. B. C. D. ,B,分层训练,3. 如图24-1-19，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为点E，连接AC，若CAB=22.5，CD=8 cm，则
5、O的半径为_cm.,分层训练,4. 图24-1-20已知：如图24-1-20，AB是O的弦，半径OC,OD分别交AB于点E,F，且OE=OF. 求证：AE=BF.,证明：如答图24-1-6所示， 过点O作OMAB于点M,则AM=BM. 又OE=OF，EM=FM. AE=BF.,分层训练,5. 如图24-1-21，已知AD是O的直径，BC是O的弦，ADBC，垂足为点E，AE=BC=16，求O的直径.,解：如答图24-1-7所示，连接OB. 设OB=OA=R，则OE=16-R. ADBC，BC=16， OEB=90，BE= BC=8. 由勾股定理,得OB2=OE2+BE2， 即R2=（16-R）2
6、+82.解得R=10.O的直径为20.,分层训练,【B组】,6. 如图24-1-22，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的 ），点O是这段弧的圆心，点C是 上一点，OCAB，垂足为点D，AB=180 m，CD=30 m，则这段弯路的半径是_m.,150,分层训练,7. 如图24-1-23所示，M是AB的中点，半径OM交弦AB于点N，AB=4 ，MN=2，求圆心O到AB的距离.,解：如答图24-1-8所示，连接OA. M是 的中点，AB= ， OMAB.AN= AB= . 设OA=r，则ON=r-2. AN2+ON2=OA2，即（ ）2+（r-2）2=r2.解得r=4. ON=4-2=2,即圆心O
7、到AB的距离为2.,分层训练,【C组】,8. 图24-1-24如图24-1-24，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，以点P为圆心的圆与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），P的半径为 ，则点P的坐标为_.,（3，2）,分层训练,9. 已知：如图24-1-25，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C,D两点. 若AB=24，CD=10，小圆的半径为 ，求大圆的半径.,分层训练,解：如答图24-1-9所示，连接OC，OA并过点O作OEAB于点E. AB=24，CD=10，由垂径定理，得AE=BE，CE=DE. AE= AB= 24=12,CE= CD= 10=5. 在RtOCE中，CE=5，OC= ， OE= =5. 在RtOAE中，OE=5，AE=12， OA= =13.大圆的半径等于13.,
