1、导数的应用函数的单调性,教学目的： 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：利用导数判断函数单调性 教学难点：利用导数判断函数单调性,1 、函数 f(x) 在点 x0 处的导数定义,2 、某点处导数的几何意义,3 、导函数的定义,函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f (x0) 就是曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线的斜率.,知识回顾,4 、求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：,2.算比值：,3.取极限：,1.求增量：,5、四个常见函数的导数公式,6、导数的四则运算法则,7、复合函数的导数,8、对数函数
2、的导数,9、指数函数的导数,引例 已知函数y=2x3-6x2+7,求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.,（1）任取x1x2( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形 （3）判断符号 （4）下结论,用定义法判断函数单调性的步骤：,新课讲授,引入函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数 的图像可以看到：,1. 函数的导数与函数的单调性的关系：,增函数,减函数,正,负,0,0,在区间（2， ）内，切线的斜率为
3、正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即 0时，函数y=f(x) 在区间（2， ）内为增函数；在区间（ ，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即 0时，函数y=f(x)在区间（ ，2）内为减函数.,设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y 0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y 0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.,判断函数单调性的常用方法：（1）定义法（2）导数法,结论：,y 0,增函数,y 0,减函数,用导数法确定函数的单调性时的步骤是： （1）求出函数的导函数 （2）求解不等式f (x)0，求得其解集，再根据解
4、集写出单调递增区间 （3）求解不等式f (x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间,注：单调区间不以“并集”出现。,2、导数的应用：判断单调性、求单调区间,例1 确定函数f(x)=x22x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.,解：f(x)=(x22x+4)=2x2.,令2x20，解得x1. 当x(1，+)时， f(x)0，f(x)是增函数.,令2x20，解得x1. 当x(，1)时，f(x)0，f(x)是减函数,例题讲解,例2 确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间 内是增函数，哪个区间内是减函数.,解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x,令6x212x0，解得x
5、2或x0,当x(，0)时，f(x)0， f(x)是增函数.当x(2，+)时，f(x)0，f(x)是增函数.,令6x212x0，解得0x2. 当x(0，2)时，f(x)0，f(x)是减函数.,f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)f(x)= 在(0，+)上是减函数.,例3 证明函数f(x)= 在(0，+)上是减函数.,证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2(0，+)设x1x2.,f(x1)f(x2)=,x10，x20，x1x20 x1x2，x2x10， 0,点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越
6、性.,证法二：(用导数方法证),f(x)=( )=(1)x2= ，x0，,x20， 0. f(x)0，,f(x)= 在(0，+)上是减函数.,证明：令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e2x1) x0，e2xe0=1，2(e2x1)0, 即f(x)0 f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函数. f(0)=e010=0. 当x0时，f(x)f(0)=0，即e2x12x0. 1+2xe2x,例4当x0时，证明不等式：1+2xe2x.,分析：假设令f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0, 如果能够证明f(x)在(0，+)上是增函数，那么f(x)0，则不等式就可以证明.,
7、点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.,y=x+ 的单调减区间是(1，0)和(0，1),例5已知函数y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间.,解：y=(x+ )=11x2=,令 0. 解得x1或x1.,y=x+ 的单调增区间是(，1)和(1，+).,令 0，解得1x0或0x1.,例6（2000年全国高考题）设函数,其中a0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间,上是单调函数。,即,例7.设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。,1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )(A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-,-1) (D) (-,-1) ，(1, +),2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( )，则a的取值范围为( )(A) a0 (B) 11 (D) 0a1,3、当x(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) 单调递增函数 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定,课堂练习,f(x)在某区间内可导，可以根据f(x)0或f(x)0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当f(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数。,课堂小结,课后作业,
