1、1.3 导数的应用 1.3.2 利用导数研究函数的极值(二),探要点究所然,情境导学 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在 某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题.,探究点一 求函数的最值 思考1 如图，观察区间a，b上函数yf(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？,答 f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数yf(x)的极小值； f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数yf(x)的极大值.,填要点记疑点,1.函数f(x)在闭区间a，b上的最值 函数f(x)在闭区间a，b上的图
2、象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 处或 处取得.,端点,极值点,2.求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数yf(x)在(a，b)内的 ； (2)将函数yf(x)的各极值与 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 .,极值,端点处,最大值,最小值,思考2 观察思考1的函数yf(x)，你能找出函数f(x)在区间 a，b上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？ 答 函数yf(x)在区间a，b上的最大值是f(a)，最小值是f(x3).若区间
3、改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值.,3.在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值. 4.极值与最值的意义 (1)最值是在区间a，b上的函数值相比较最大(小)的值； (2)极值是在区间a，b上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值.,思考3 函数的极值和最值有什么区别和联系？ 答 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可
4、以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值.,例1 求下列函数的最值： f(x)2x312x，x2,3； 解 f(x)2x312x，,当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,当x3时，f(x)取得最大值18.,反思与感悟 (1)求函数的最值，求极值是关键的一环.若仅是求最值，则简化为： 求出导数为零的点. 比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值. (2)若函数在闭区间a，b上连续且单调，则最大值、最小值在端点处取得.,跟踪训练1 求下列函数的最值：
5、f(x) x34x4，x0,3；,f(x)x24. 令f(x)0，得x12，x22.,探究点二 含参数的函数的最值问题 例2 已知a是实数，函数f(x)x2(xa). (1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程. 解 f(x)3x22ax. 因为f(1)32a3， 所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，,所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20.,(2)求f(x)在区间0,2上的最大值.,从而f(x)maxf(2)84a.,从而f(x)maxf(0)0.,反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值
6、的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.,跟踪训练2 求函数f(x) x34x4在0，a(a0)上的最大值和最小值. 解 f(x)x24. 令f(x)0，得x2或x2(舍去). 因为0xa，所以当0a2时，f(x)0， 所以f(x)在区间0，a上是减函数.,当x0时，f(x)取最大值f(0)4. 当a2时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,从上表可知：当x2时，f(x)取最小值f(2) ，f(x)的最大值为f(0)与f(a)中较大的一个.,所以当2a2 时，f(x)的最大值为f(0)4；,综上可得：,探究点三 函数最值的应用 思考 函数最值和“恒成立
7、”问题有什么联系？ 答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题. 如f(x)0恒成立，只要f(x)的最小值大于0即可. 如f(x)0恒成立，只要f(x)的最大值小于0即可. 以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.,例3 设函数f(x)2x39x212x8c， (1)若对任意的x0,3，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0. 当x1时，f(x)取极大值f(1)58c. 又f(3)98cf(1)，,x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c. 对任意的x0,3，有f(x)9. c的取值范围为(，1)(9，).,(2)若对任意的
8、x(0,3)，都有f(x)c2成立，求c的取值范围. 解 由(1)知f(x)f(3)98c， 98cc2即c1或c9， c的取值范围为(，19，).,反思与感悟 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可. (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“”.,跟踪训练3 设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0). (1)求f(x)的最小值h(t)； 解 f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)， 当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1， 即h(t)t3t1.,(
9、2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围. 解 令g(t)h(t)(2tm)t33t1m， 由g(t)3t230得t1，t1(不合题意，舍去). 当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表,对t(0,2)，当t1时，g(t)max1m， h(t)1. 故实数m的取值范围是(1，),当堂测查疑缺,1.函数yf(x)在a，b上( ) A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值 解析 由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于极小值.,1,2,3,4,D,2.函数f(x)x33x(|x|1)( )
10、A.有最大值，但无最小值 B.有最大值，也有最小值 C.无最大值，但有最小值 D.既无最大值，也无最小值,1,2,3,4,解析 f(x)3x233(x1)(x1)， 当x(1,1) 时，f(x)0， 所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D. 答案 D,1,2,3,4,3.函数yxsin x，x 的最大值是( ) A.1 B. 1 C. D.1 解析 因为y1cos x，,1,2,3,4,1,2,3,4,所以y的最大值为ymaxsin ，故选C.,答案 C,4.函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为_. 解析 f(x)3x26x93(x3)(x1). 由f(x)0得x3或x1. 又f(4)k76，f(3)k27， f(1)k5，f(4)k20. 由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.,1,2,3,4,本课小结：,1.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值. 2.求含参数的函数最值，可分类讨论求解. 3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.,谢谢观看,
