1、1.3.2 利用导数研究函数的最值,一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值; 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.,(1)极值是一个局部概念.,(2)函数的极值不是唯一的.,(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.,(4)函数的极值点一定出现在区间的内部.,一般地,当函数f(x)在x0处连续时, 判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,(1) 如果在x0附近的左侧 f (x) 0, 右侧f (x) 0, 那么,f(x0)
2、是极大值;,(2) 如果在x0附近的左侧f (x) 0, 那么, f(x0)是极小值.,求函数y=f(x)在a，b的最大（小）值步骤如下：（1）求函数f(x)在开区间(a，b)内所有使f (x)=0的点；（2）计算函数f(x)在区间内使f (x)=0的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。,例1已知函数y= x34x+4， （1）求函数的极值，并画出函数的大致图象； （2）求函数在区间3，4上的最大值和最小值,解：（1）y=( x34x+4)=x24=(x+2)(x2),令y=0，解得x1=2，x2=2,当x变化时，y，y的变化情况如下表:,当x=2时，y有极大值且
3、y极大值=,当x=2时，y有极小值且y极小值=,（2）f(3)=7，f(4)=9 = ，,与极值点的函数值比较得到该函数在区间3，4上最大值是9 ，最小值是,例2求函数y=x42x2+5在区间2，2上的最大值与最小值,解：先求导数，得y =4x34x, 令y =0 即4x34x=0，,解得x1=1，x2=0，x3=1. 导数y 的正负以及f(2)，f(2)如下表：,从上表知:当x=2时，函数有最大值13，当x=1时，函数有最小值4,解 显然a0. f(x)3ax212ax3ax(x4) 令f(x)0，解得x10，x24(舍去) (1)当a0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以当x0时，f(x)取得最大值，所以f(0)b3. 又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2) 所以当x2时，f(x)取得最小值，即16a329，a2. (2)当a0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,所以当x0时，f(x)取得最小值，所以b29. 又f(2)16a29，f(1)7a29，f(2)f(1) 所以当x2时，f(x)取得最大值，即16a293，a2. 综上所述a2，b3或a2，b29. 点拨 本题运用了求极值、最值的方法，采用了待定系数法确定a，b的值，体现了方程的思想和分类讨论的思想,
