1、曲边梯形面积与定积分,教学目标,1.知识与技能：了解求简单曲边梯形（轴上方）的面积的一般求法（即“分割以直代曲作和逼近”），在“以直代曲”方案比较中建构出定积分的概念，初步理解定积分的几何意义，能利用定积分求曲边梯形的面积.,2.过程与方法：在问题解决（求曲边梯形）的过程中，体会“以直代曲”的方法和极限的思想；在方案比较中建构数学知识；初步体会数学的思维过程，学会猜想、比较、验证.,3.情感态度与价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，培养借助信息技 术探究数学问题的意识，感受数学思维的全过程，改善数学学习信念.,一、情境创设 已知某物体做变速直线运动，设经过ts后的运动速度为v(t)
2、（单位：m/s）， v(t)的图 象如图1中曲线所示，试求 内物体运动的总路程.,由物理学知识可知，s即对应曲线下方的“曲边梯形”的面积.因此，问题即转化为求 如何求一曲边梯形的面积，如果说图（2）中“曲边梯形”面积可分解为三个梯形的 面积，那么图（3）中“曲边梯形”面积又该如何求呢？,求直线 和 曲线所围成的图形（曲边三角形）的面积s,.,二、操作探究,活动1 方案提出,几何画板演示,基本思想：,1、分割,等分成,个小区间（思考：为什么要等分区间？）：,，,，,，,活动2、方案落实（以左端点对应的函数值为矩形的边长为例）,把区间,，,，每个区间的长度为,. 过各区间端点作,轴的垂线，从而得到
3、,个小曲边梯形，它们的面积分别记作,，,，,.即,2、以直代曲,上的小曲边梯形，以区间左端点,对应的函数值,为一边的长，以,为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即,.,对区间,3、作和,因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以,个小矩形的面积之和,就是所求曲边三角形面积,的近似值，其中,.,4、逼近,（亦即,）时，,.,由,当分割无限变细，即,，从而,.,活动3 方案比较,三种方案，即分别以矩形ABCD、矩形ABEF、梯形ABDE来近似代替相应曲边梯形的面积.,具体方案中虽然面积会有差异即,，但当,时，其和式均无限趋近于同一结果，即均能用来求曲边梯形的,所对应的函数
4、值,作为小矩形一边的长.和式,近似表示曲边梯形面积.,面积（一方面通过电脑操作让学生感受，同时借助公式简单推导从而强化认识）.从而可将“以直代曲”的方案加以拓展，即可以取小区间内任意一点,三、概念揭示,对于一般函数,，可以采用上述方法求相应曲边梯形的面积.,等分成,，个小区间，每个小区间长度为,以直代曲：在每个小区间上任取一点，依次为,，,；,分割：将区间,求和：,；,逼近：,（亦即,）时，,.,1、概念：称该常数S为函数,在区间,上的定积分，记为,，其中,称为被积函数，,为积分区间，,称为积分下限，,为积分上限.,非负时，,即为,轴上方的曲边梯形的面积,2、定积分的几何意义，当,四、初步应用,例1、试用定积分表示下列曲边梯形的面积，并借助于信息技术求出相应结果.,（1）、计算直线x=-4，x=2，y=0，和曲线,（1）、曲边梯形面积为,（2）、曲边梯形面积为,.,围成的曲边梯形面积；,（2）、计算直线x=0，x=，y=0，和曲线y=sinx围成的曲边梯形面积.,五、小结,
