1、1.4.1 曲边梯形面积与定积分,1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。,O,x,y,y=f (x),一. 求曲边梯形的面积,x=a,x=b,y = f(x),用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得,A A1+ A2+ A3+ A4,用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得,A A1+ A2 + + An,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为, 以直代曲,无限逼近,2曲边梯形的面积,求曲边梯形的面
2、积即 求 下的面积, 分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代后求和。,若“梯形” 很窄， 可近似地用矩形面积代替,在不很窄时怎么办？, 以直代曲,例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形 的面积。,解:把底边0,1分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:,因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面积为:,小结:求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。,（1）分割,（2）近似代替,（4）取极
3、限,(3)求和,3.求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)以直代曲:任取xixi-1, xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.,(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为,(3) 作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,xi-1,xi,xi,(1)分割:在区间a,b上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: 每个小区间宽度x,如果当n+时，Sn 就无限接近于某个常数，,这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作,从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”: 分割-以直代曲-求和-逼近
4、.,设函数f(x)在区间a,b上有定义,将区间a,b分 成n个小区间,每个小区间的长度为xi,记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个区间上取一点,依次为1,2,i,n.作和In=f(1) x1+f(2) x2+f(i) xi+f(n) xn, 如果无限趋近于0(亦即n趋向于+)时,In无限趋近 于常数S,那么称该常数为函数f(x)在区间a, b上的定 积分，记作,二、定积分的定义,积分下限,积分上限,定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x)dx 叫做被积表达式，f(x) 叫做被积函数,x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，a, b 叫做积
5、分区间。,积分下限,积分上限,按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为,(3) 设物体在变力F=F(r)的方向上有位移r，则F在位移区间a, b内所做的功W为,1,说明：(1) 定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即,三.定积分的几何意义：,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，,=-S,上述曲边梯形面积的负值。,定积分的几何意义：,=-S,定积分的几何意义：,在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).,例：计算下列定积分.,第（1）-（5）小题可用定积分的几何意义求解。第（6）小题现在只能用定积分的定义求，很繁，等下节学了牛顿-莱布尼兹公式再做。,课堂练习,课本P39练习A.1，3，4,四. 定积分的基本性质,性质1.,性质2.,四. 定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有可加性,性质3.,探究: 根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?,说明,本课件是根据网上老师们的作品结合新课标的教材改编而成。,
