1、1.4.1 曲边梯形面积与定积分,曲线f(x)与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，通常称为曲边梯形,右图为一个特殊的曲边梯形，是一个曲边三角形,（1）分割：将区间0，1等分为n个小区间，每个小区间的长度为x= ;,（2）近似代替：过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分 成n个小曲边梯形，再分别用每个小区间的左端点的纵坐 标 为高，x= 为底作小矩形，每个小矩形的面积 为Si= （i=0，1，n-1）,（3）求和：所有小矩形的面积 和为,（4）取极限：,所以曲边三角形的面积为,“分割”的目的在于更精确地“以直代曲”，以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数的增多，这种“代替”就越精确，当n愈大
2、时，划分就越细，所有的小矩形的面积的和就愈接近曲边三角形的面积。,在”近似代替“中，是否可以取每个区间的右端点的 纵坐标为小矩形的高，并且利用所有这些小矩形的面积的和去逼近曲边三角形的面积呢？,思考：,将所有这些小矩形的面积的和记为An,则AnS,（1）分割：将区间0，1等分为n个小区间，每个小区间的长度为x= ;,（2）近似代替：分别用每个小区间的右端点的纵坐 标 为高，x= 为底作小矩形，每个小矩形的面积 为Ai= （i=0，1，n-1）,（3）求和：所有小矩形的面积 和为,（4）取极限：,所以曲边三角形的面积为,事实上，在”近似代替“中，可以取每个区间的左端点或右端点或区间上的任一点的纵
3、坐标的绝对值为小矩形的高，没有统一的要求，只是 为了计算方便，通常取一些特殊点，并且利用所有这些小矩形的面积的和去逼近曲边梯形的面积。,求曲边梯形的面积的步骤：,（1）分割,（2）近似代替,（3）求和,（4）取极限,利用曲边梯形的面积的求法解决变力做功问题,（1）分割：将区间0，bn等分，每个小区间的长度为 x= ;,（2）近似代替：当n很大时，在分段 所用 的力约为 ,所做的功为 （i=0，1，n-1）,（3）求和：,（4）取极限：,所以弹簧从平衡位置拉长b所做的功为,以上两个问题解决问题的方法和步骤是完全相同的，都归结为求一个函数在某一闭区间上的和式的极限问题：,曲边三角形或曲边梯形的面积
4、,克服弹簧拉力的变力所做的功,牛顿等数学家得到解决这类问题的一般方法： 求函数的定积分,曲边梯形的面积S等于其曲边所对应的函数 y=f(x)在区 间a,b上的定积分，即,例2中克服弹簧拉力的变力所做的功可以写为,例1的结果可以写为,分割,近似代替,求和,取极限,表示曲边梯形的面积,表示x轴上方和下方的面积的代数和,注：,运算性质1：,运算性质2：,运算性质3：,运算性质4：,定积分的运算性质：,图中阴影部分面积用定积分该如何表示？,思考：,2.用定积分求直线y=x,x=1,x=2,y=0所围成的梯形的面积。,几种典型的曲边梯形面积的求法：,曲边梯形的面积为：,曲边梯形的面积为：,阴影部分的面积为：,动动脑,
