1、,微积分基本定理,积分上限,积分下限,复习：1、定积分是怎样定义？,定积分的简单性质,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,复习：2、定积分的几何意义是什么？,复习引入：定积分的几何意义的应用,8,微积分基本定理,在爬山路线的每一点(x，F(x)，山坡的斜率为F (x)。,将区间a，bn等分，记x=,我们来分析每一小段所爬高度与这一小段所在切线的斜率的关系。,即F(xk+1)F(xk)F (xk)x.,这样，我们得到了一系列近似等式： h1=F(a+x)F(a) F (a)x， h2=F(a+2x)F(a+x)F(a+x)x, h3=F(a+3x)F(a+2x)F(a+2x)x, hn1=Fa
2、+(n1)x(a+(n2)x)F a+(n2)xx， hn=F(b)Fa+(n1)x)F a+(n1)xx，,微积分基本定理,如果F (x)=f(x)，且f(x)在a，b上可积，则,其中F(x)叫做f(x)的一个原函数。,由于F(x)+C=f(x)，F(x)+C也是f(x)的原函数。其中C为常数。,一般地，原函数在a，b上的改变量F(b)F(a)简记作F(x) ，因此微积分基本定理可以写成形式：,微积分基本定理：,设函数f(x)在区间a,b上连续，并且F(x)f（x)，则，,这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿莱布尼茨公式（New
3、ton-Leibniz Formula).,莱布尼兹,莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿 同为微积分的创始人；1646年7月1日生于 莱比锡，1716年11月14日卒于德国的汉诺 威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家 庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。1661年 入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学 学习几何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论组合的技巧已含有数理逻 辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。 1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉 诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有 人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物 、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。,返回,微积分基本定理：,设函数f(x)在区间a,b上连续，并且F(x)f（x)，则，,说明： 牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间a,b上的增量F(b)F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。,例1 计算下列定积分,练习1:,定积分公式：,例3,例4：求曲线,1.微积分基本定理：,2.基本初等函数的原函数公式,谢谢观赏！,
