1、1.3 反证法,1.3 反证法,复习引入,综合法,分析法,因,果,由因导果法,果,因,执果索因法,直接证明,间接证明,反证法,A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？,假设C没有撒谎, 则C真;,由A假, 知B真.,那么假设“C没有撒谎”不成立;,则C必定是在撒谎.,那么A假且B假;,这与B假矛盾.,分析:,由假设,3,反证法的步骤：, 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；, 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；, 由矛盾判定假设不正确，而肯定命题的结论正确。,要证结论p,假设非p为真,导致矛盾,断定,非P为假,P必为真,原命题 得证,
2、定义：,一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原 命题成立，这样的证明方法叫做反证法。,思考：此法的原理和实质是什么？,原理：否定之否定就是肯定。,实质：证明命题的逆否命题和原命题同时成立。,例1.已知a是整数，2能整除a2，求证：2能整除a.,证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”. 因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则,即a2是奇数.所以,2不能整除a2. 这与已知“2能整除”相矛盾. 于是,“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.,例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直.求证：a与b平行.,证明
3、：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则PMQ0,这样,的内角和,这与定理“三角形的内角和等于180”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交，即a与b平行。,反证法的步骤：,总结,（1）反设：假设结论的反面成立；,（2）归谬：由反设出发，通过正确推理，导出 矛盾；,（3）结论：结论的反面不成立，即原结论正确。,(1)直接证明比较困难;,(2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少;,（3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样,（4）结论为 “唯一”之类的命题；,应用反证法的情形：,思考：归谬是
4、“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？,归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形.,分析：至少有一个，若从正面考虑，需分多种情况， 一一去证明，比较繁琐，而反方面只有“没有一个数 大于25”这一种情况，即“所有的数都小于等于25”， 相对而言，从反方面入手更加简便。,1. 已知 ， 求证： 中至少有一个数大于25。,试分析下列题目，并写出反证法的证明过程。,注意有两个方面，不要想当然地认为 “不大于”就是“小于”。,2. 求证： 不可能是一个等差数列中 的三项。,分析：设 为等差数列，则可由等差数列的相关概念，如公差或等差中项等推出矛盾。,3. 空间中有平面 、 ，直线 、 ，且有求证：,分析：设 、 不平行，由立体几何知识容易推得直线 与面 相交，与条件矛盾。, 反证法定义：, 反证法步骤：,反设,归谬,结论,一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原 命题成立，这样的证明方法叫做反证法。,
