1、2.2 导数的概念,函数 中 关于 的平均变化率为：,当 即 时，若平均变化率趋于一 个固定值 ，则称这个值为函数 在 点的瞬 时变化率。,复习引入,数学上称这个瞬时变化率为 在 点的 导数，用 表示，记作,解析：自变量从 变到 时，函数值从 变 到 ，当 时，平均变化率,所以，,它表示当 x = 2时水流的瞬时速度，即若水以x =2s 时的瞬时速度流动，每过1s，水管流过的水量为 。,例1 一条水管中流过的水量 是时间 x (s)的函 数 ，求函数 在 x = 2 处的导数，并解释它的实际意义。,解析：,表示工作1h时，其生产速度是4kg/h， 即若保持此速度，他每小时可生产4kg食品；,表
2、示工作3h时，其生产速度是3.5kg/h， 即若保持此速度，他每小时可生产3.5kg食品。,导数是瞬时变化率，本题中指生产效率。,例2 一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作， 生产的食品数量 y (kg)是时间 x (h)的函数 y = f (x)。 设函数在 x =1和 x = 3 处的导数分别是 和 ，试解释其实际意义。,例3. 服药后，人体血液中的药浓度y (ug/ml)是时间t (min)的函数 y = f (t)，假设 y = f(t)在t = 10和t = 100处 的导数分别为 和 ，试解释其 实际意义。,分析：,表示服药后10min时，药浓度上升速 度为1.5ug/(mlmi
3、n)，若保持此速度，每经过1min药 浓度将上升1.5 ug/ml；,表示服药后100min时，药浓度下降速 度为0.6ug/(mlmin)，若保持此速度，每经过1min药 浓度将下降0.6 ug/ml。, 导数的定义：,函数 在 处的导数 ：, 导数的意义：,瞬时变化率，具体意义要根据题目分析。当导数 是正数时，说明函数值是增加（上升）的；导数是负 数时，函数值是减小（下降）的。,2.2.2 导数的几何意义, 导数的定义：,函数 在 处的导数 ：,即瞬时变化率,在 上， 的平均变化率：,容易看出，它是过 P、Q 两 点的直线斜率。,割线,P,Q,切线,T,观察当 时，Q点及割线PQ的变化情况
4、。,概括,导数的几何意义：,函数 在 处的导数，即是曲线 在点 处的切线斜率。,当 时，,导数 即过点 P 的切线 PT 的斜率。,（1）要求平均变化率，只需将区间端点求出， 并代入公式即可：,分析：,（2）画或者求切线，需要求切线的斜率，即函 数的导数。,例1 已知函数 ， ， （1）分别对 ，1，0.5 求 在 的平均变化率，并画出过点 的相应割线； （2）求 在 处的导数，画出曲线 在点 处的切线。,解：,同理，当 时，平均变化率分别是：,由题知，,时割线过点 和 ；,图略。,（2）,又切线过点,切线方程为：,图略。,要求切线斜率，即导数 。,分析：,切线方程为：,即,解：,例2 求函数 在 处的切线方程。,利用导数求曲线的切线方程：,（2）利用点斜式求得切线方程为：,（1）求出 在 处的导数 ；,总结概括,1. 求曲线 在点 处的 切线方程。,2. 曲线 的某一切线与直线 平行，求切点坐标与切线方程。, 导数的几何意义：,函数 在 处的导数，即是曲线 在点 处的切线斜率。, 导数法求曲线的切线方程：,（2）利用点斜式求得切线方程为：,（1）求出 在 处的导数 ；,
