1、1,2.2.2 反证法,2,温故迎新,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程.,综合法:,已知条件,结论,分析法:,结论,已知条件,3,路 边 苦 李,王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？,小故事:,4,王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李.,王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的 推理方法?,5,实例：南方某风水
2、先生到北方看风水，恰逢天降大雪。先生突然想附庸风雅一番，乃作一歪诗：天公下雪不下雨，雪到地上变成雨；早知雪要变成雨，何不当初就下雨。 他的歪诗又恰被一牧童听到，亦作一打油诗讽刺风水先生：,实际上，小牧童正是巧妙运用了逆向思维，驳斥了风水先生否定事物普遍运动的规律，只强调结果，不要变化过程的形而上学的错误观点：假设风水先生说的是真理，只强调变化最后的结果，不要变化过程也可，那么，根据他的逻辑，即可得出先生当初就应吃屎的荒唐结论。风水先生当然不会承认这个事实了。那么，显然，他说的就是谬论了。,先生吃饭不吃屎，饭到肚里变成屎； 早知饭要变成屎，何不当初就吃屎。,这就是逆向思维的威力，一个原本非常复杂
3、难证的哲学问题被牧童运用了“以其人之道，还其人之身”便迎刃而解了。,6,证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60.,引例,已知：A， B， C是ABC的内角. 求证： A， B， C中至少有一个不小于60,7,已知：A， B， C是ABC的内角. 求证： A， B， C中至少有一个不小于60,证明：,假设 的三个内角A， B， C都小于60，,所以 A 60，B 60， C 60, A+B+C180,先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾， 说明假设不成立，从而得到原结论正确。,这种证明方法就是-,8,反证法,学习目标： 1、反证法的定义；
4、2、反证法的一般步骤； 3、运用反证法的注意事项。,9,把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明,注：反证法是最常见的间接证法。,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。,10,否定结论推出矛盾肯定结论 即分三个步骤：反设归谬存真,反设假设命题的结论不成立；,存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。,归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；,归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与假设矛盾或自相矛盾; （3）与已有公理、定理、定义
5、、事实矛盾.,反证法的思维方法：正难则反,11,证明:,因为,所以,注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。,12,例2.证明： 不可能成等差数列,注：否定型命题(命题的结论是“不可能”， “不能表示为”，“不是”，“不存在” ，“不等于”，“不具有某种性质”等) 常用反证法,证明:,假设 能成等差数列，则,两边平方得:,化简得:,两边平方得:,此式显然不成立，所以假设错误,不可能成等差数列,13,例3、已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。,分析：由于a0，因此方程至少有一个根x= 。从正面较难说清为什么只有这个根，我们采用反证法，
6、即证明如果不只一个根则会导致矛盾。,14,例3 已知a0，,证明：关于x的方程ax=b有且只有一个根。,注：唯一性命题(命题的结论是“有且只有”，“只有一个，“唯一存在”等) 常用反证法。,15,例4：已知x0,y0，x+y2， 求证： 中至少有一个小于2。,分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“两个都”不成立即可.,注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法,证明:,假设 均不小于2，则, x0,y0,1+x2y，1+y2x,将两式相加得:x+y2，与已知x+y2矛盾，,所以 中至少有一个小于2。,16,例3、已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。,
7、例2： 不可能成等差数列,例4：已知x0,y0，x+y2， 求证： 中至少有一个小于2。,17,（1）直接证明有困难,正难则反!,归纳总结：,哪些命题适宜用反证法加以证明？,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”,（3）唯一性命题,（2）否定性命题,（4）至多，至少型命题,18,反证法的一般步骤,先假设命题的结论不成立,从假设出发，经过推理,得出矛盾,否定假设,肯定原命题,分清条件和结论,19,假设互补的两个角都大于90.,假设ABC中,至少有两个钝角,（3） “若a2 b2,则a b” 。,假设a=b,20,1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶数.,假设这个数是奇数,可以设为2k+1,证:,则有,而,不是偶数,这与原命题条件矛盾.,所以原命题成立,21,1、知识小结：反证法证明的思路：假设命题的结论不成立正确的推理,得出矛盾否定假设，肯定待证明的命题,2、难点提示:利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。“至少”的反面是“没有”，“最多”的反面是“不止”。,22,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.,不是,不都是,不大于,不小于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某个x，不成立,存在某个x, 成立,不等于,某个,
