1、2.3 数学归纳法,思 考,对于数列 ,已知 , 求通项公式.,猜想：,学 习 目 标,1.了解数学归纳的原理,2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,(多米诺骨牌游戏),思考：此游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件？,1.第一块骨牌倒下,2.任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下,递推关系：第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下,情境引入,1.第一块骨牌倒下,2.任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致 后一块倒下（第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下）,数列 ,已知 猜想：,1. 时，,成立,2.假设 时成立，那么时猜想也成立，即,多米诺骨牌,一般地证明一个与正整数,1.（归纳奠基
2、)证明当,2.（归纳递推）假设当,有关的命题，可按下列步骤进行：,取第一个值,时命题成立；,时命题成立，,时命题也成立.,证明当,数学归纳法,证明：,（1）当,左边,所以等式成立.,(2)假设当,那么,当,即当,根据(1)和(2),可知等式对任何,时，,时等式成立,即,时,等式也成立.,都成立.,数学归纳法,变式练习1 用数学归纳法证明,证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立,（2）假设当n=k时，等式成立，即,递推基础,递推依据,那么当n=k+1时，,分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：,
3、变式训练2,纠错!,（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*),证明 ：假设当n=k时等式成立，即2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN*),那么，当n=k+1时，有2+4+6+8+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1 , 因此，对于任何nN*等式都成立。,缺乏“递推基础”,事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法,请修改为数学归纳法,证明 当n=1时,左边= ,假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,由 知,对
4、一切正整数n,原等式均正确.,证明 当n=1时,左边= ,这才是数学归纳法,假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,右边=,此时，原等式成立。,那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,由 知,对一切正整数n,原等式均正确.,1. 试问等式,解:假设当,则当,所以等式对任何,事实上，当,四、深化理解,归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？,成立吗？某同学用数学,时等式成立，即,时,即当,时等式也成立.,都成立.,时，左边2，右边3,左边右边，等式不,成立.缺少归纳奠基，不属于数学归纳法，是不正确的.,四、深化理解,2. 判断证明下面等式是否使用了数学归纳法：,证明
5、：当,右边=,，等式成立.,假设当,那么当,即当,根据 和，可知等式对一切正整数,左边,右边,没有用上“假设”，缺少归纳递推，故此法不是数学归纳法.如何修改？由,时,左边=,时等式成立，即,时,时,等式也成立.,都成立.,到,递推，请学生们自主完成.,五、灵活应用,1.已知数列,项和，计算S1, S2 ,S3 ,S4,根据计算结果，,可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致， 分母可用项数,下面用数学归纳法证明猜想：,解析：,时，显然成立；（2）假设,则,也成立,由（1）和（2）可知,设,为数列前,猜想,表示为,可以猜想,（1）当,时，,对任何的,都成立.,的表达式，并用数学归纳法进
6、行证明.,五、灵活应用,2.比较,分析：当,时，,时，,时，,时，,时，,时，,下面用数学归纳法证明猜想：,时，显然成立；,（2）假设,则当,因为,即证,又,所以,故当,由（1）和（2）可知,和,的大小.,时，,当,当,当,当,当,猜想当,（1）当,时，有,时，只需证,成立.,时，猜想成立.,对任何的,都成立.,六、巩固训练,4.设,D非以上答案,成立时， 起始值至少应取为.,答案：C,答案：8,答案：,1若,则,为( ),A.,B.,C.,2.用数学归纳法证明不等式,3用数学归纳法证明：“,”,时，由,不等式成立，推理,求证：,时，左边应增加的,项数是.,命题成立，”其本质是证明一个递推关系
7、，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷如果没有它，即使前面验证了命题对许多正整数都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立，证明中要注意用假设与凑结论，增强目标意识,七、善思多想,1.数学归纳法的第一步,提示:不一定，要看题目中对,2.为什么可以先假设,的初始值是否一定为1?,第一个值,边形的内角和为,大，不一定是从1开始取值如证明,值也比较,，有时,或,整数中的最小值，有时是,是适合命题的正,的要求，,时命题也成立就可说明命题成立？,当,时命题成立？再证,提示：“假设,时命题成立，证明当,时,1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要 方法.,（1）证明当,
8、（2）假设,（3）由（1）和（2）得出结论，缺一不可，注意完整性.,2.数学归纳法的证明过程主要有两个步骤一个结论:,取第一个值,（即命题允许的最小正整数如,=1或2等）时结论正确；,时，结论成立，当,时，,利用假设证明结论也成立.,课堂小结,解析：当n1时，左边1aa111aa2，故C正确 答案：C,3用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN*)”时，第一步验证为_ 解析：由nN*可知初始值为1. 答案：当n1时，左边4右边4 ，不等式成立,解析：由nk到nk1时，左边增加(k1)2k2. 答案：(k1)2k2,九、作业布置,必做题：习题2.3 A组 1、2,选做题： 1.在各项均为正数的数列 中，数列的前 项和为 ，满足 (1)求 的值； (2)由(1)猜想出数列 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想 2.用数学归纳法证明凸 边形的对角线有 条,
