1、数学归纳法 小明的爸爸有四个小孩我是一毛我是二毛我是三毛我是谁？我不是四毛！我是小明！一、归纳法的原理：大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理，其结论是否正确？试验（ 1）从大球中取出了 5个小球，发现全是红色的。推理大球中装的全是红球判断考察 部分 对象，得到一般结论的方法，叫做不完全归纳法。不完全归纳法得到的结论不一定正确！不完全归纳法和完全归纳法均称为归纳法。试验（ 2）从大球中取出所有的小球，推理大球中装的全是红球判断考察 全部 对象，得到一般结论的方法，叫做完全归纳法。完全归纳法得到的结论一定正确！发现全是红色的。在等差数列 中，已知首项为 ，公差为 ， 归纳思考：下列推理正确吗
2、？点评：这个结论是由不完全归纳法得到的，证明结果不一定可靠！讨论：如何运用完全归纳法证明上面的等差数列通项公式是正确的？二、讲授新课其中道理可用于数学证明 数学归纳法 .（ 1）第一张骨牌必须能倒下（ 2）假若第 k（ k1）张能倒下时，一定能推倒紧挨着它的第 k+1张骨牌（游戏开始的基础）（游戏继续的条件）分析：能够使游戏一直连续运行的条件：类似地，把关于自然数 n的命题看作多米诺骨牌，产生一种符合运行条件的方法：（递推基础）（递推依据）由（ 1）（ 2）知，游戏可以一直连续运行。由（ 1）（ 2）知，命题对于一切nn。的自然数 n都正确。我们把以上证明关于自然数 n的命题的方法，叫做数学归
3、纳法。数学归纳法：一个与自然数相关的命题，如果那么可以断定，这个命题对 n取第一个值后面的所有正整数成立。（ 1）当 n取第一个值 n0时命题成立；（ 2）在假设当 n=k(k N+，且 kn0)时命题成立的前提下，推出当 n=k+1时命题也成立，证明 ：（ 1）当 n=1时，等式是成立的（ 2）假设当 n=k时等式成立，就是那么这就是说，当 n=k+1时，等式也成立由（ 1）和（ 2），可知的等式对任何 都成立下面用数学归纳法证明等差数列通项公式：例：求证：证明：（ 1）当 n=1时，等式左端等于 1，右端也等于 1，因此等式对 n=1成立；（ 2）假设当 n=k时，等式成立，即假设在此前提
4、下，可推出而 由此可见在假设等式对 n=k成立的前提下，推出等式对 n=k+1成立。于是可以断定等式对一切正整数 n成立 .三、例题分析例 1 用数学归纳法证明 证明 ： （ 1）当 n=1时，左边 =1，右边 =1，等式成立（ 2）假设当 时，等式成立，就是那么这就是说，当 n=k+1时，等式也成立由（ 1）和（ 2），可知的等式对任何 都成立要证明的目标是：1 3 5 （ 2k-1）2(k+1)1=(k+1)2用数学归纳法证明: 练习 1：2 4 6 2n n+1(n N)的步骤如下：假设当 n k时等式成立。即 2 4 6 2k k 1则 2 4 6 2k 2（ k 1） k 1 2（
5、k 1） （ k 1） 1这就是说，当 n k 1时等式成立。根据数学归纳法 2 4 6 2n n+1对 n N都正确。评析：用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。没有步骤（ 1）命题的成立就失去了基础；没有步骤（ 2）命题的成立就失去了保证！证明： 当 n=1时，左边 2，右边 3，等式不成立；哪错了？ ？例 2用数学归纳法证明： 1+3+5+ +(2n1)=n2.证明 :(1)当 n=1时，左边 =1，右边 =1，等式成立；(2)假设当 n=k时，等式成立，即 1+3+5+ +(2k 1)=k2.那么 1+3+5+ +(2k 1)+2(k+1) 1 =k2+2(k+1) 1=k2+2
6、k+1=(k+1)2.这就是说，当 n=k+1时，等式也成立，由 (1)和 (2)可以断定，等式对任何 n N+都成立。用 数学归纳法证明： 证明 :(1)当 n=1时，左边 =4，右边 =4，因为左边 =右边，所以等式是成立的；(2)假设当 n=k时，等式成立，即 那么这就是说，当 n=k+1时，等式也成立，练习 2：由 (1)和 (2)可以断定，等式对任何 n N+都成立。以上三道题告诉我们用数学归纳法证明命题的步骤（ 2）中，要注意对 n=k到 n=k+1的正确理解，以及由 n=k到 n=k+1的过程中所变化的部分。评析：练习 A1用数学归纳法证明： 证明 :(1)当 n=1时，左边 =
7、1,右边 =1,等式成立；(2)假设当 n=k时，等式成立，即那么 这就是说，当 n=k+1时，等式也成立，由 (1)和 (2)可以断定，等式对任何 n N+都成立。练习 3：练习 B1.用数学归纳法证明： 证明 :(1)当 n=1时，左边 =1,右边 =1,等式成立；(2)假设当 n=k时，等式成立，即那么 这就是说，当 n=k+1时，等式也成立，由 (1)和 (2)可以断定 ,等式对任何 n N+都成立练习 4：一、 数学归纳法适用范围 :某些与正整数有关的数学命题 .五、小结二、用数学归纳法证明命题的步骤：(1)证明：当 n取第一个值 n0结论正确；(2)假设当 n=k(k N*，且 kn0)时结论正确，证明当 n=k+1时结论也正确 .由 (1)， (2)可知，命题对于从 n0开始的所有正整数 n都正确。数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉作业：
