1、,3.1数系的扩充和复数的概念,毕达哥拉斯（约公元前560480年）,“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉,计数的需要,正整数,零,自然数,中国是世界上最早认识应用负数的 国家.早在2000多年前的九章算术 中,就有正数和负数的记载.在古代人民 生活中,以收入钱为正,以支出钱为负.在 粮食生产中,以产量增加为正,以产量减 少为负.古代的人们为区别正、负数,常 用红色算筹表示正,黑色算筹表示负.,小贴士,珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米. 吐鲁番盆地大约比海平面低155米.,+8844,-155,数系的扩充,自然数集,整数,
2、负整数,自然数,正整数,零,整 数 集,数系的扩充,等额分配,整数,负整数,自然数,正整数,零,分数,有理数,有理数集,1,1,问题：边长为1的正方形的对角线长度为多少？,？,无理数,实数,实 数 集,【问题1】在自然数集中方程 有解吗?,【问题2】在整数集中方程 有解吗?,【问题3】在整数集中方程 有解吗?,【问题4】在有理数集中方程 有解吗?,【问题4】在有理数集中方程 有解吗?,没有实数根,学生活动,现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决这个问题， 怎么解决？,讨论,你能给出一个解决问题的方 案吗?,问题6:,1545年，卡尔丹在大衍术中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这
3、是不可能的，不过我却用下列方式解决了”,能作为“数”吗？,它表示什么意义？,历史回顾,1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”,(R.Descartes,1596-1661),笛卡尔,1新数 i 叫做虚数单位,并规定：（1）i 2 1；（2）实数可以与 i 进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立.,?,虚数,?,(1)形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,通常用字母 z 表示.,(3)全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母 C 表示.,2复数的概念,实部,虚部,其中 称为虚数单位.,(2),例题讲解,例1.写出下列复数的实部与虚部.,解: 4的实部为
4、4 ,虚部为 0 ;,2-3i的实部为 2 ,虚部为 -3 ;,0的实部为 0 ,虚部为 0 ;,的实部为 ,虚部为 ;,的实部为 5 ,虚部为 ;,6i的实部为 0 ,虚部为 6 。,三、复数的分类,复数a+bi,如图所示：,虚数集,实数集,纯虚数集,数学建构,例1.请指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.,解:实数有 ;虚数有 ;纯虚数有 .,4 ， 0,例题讲解,例2 实数m取什么值时，复数 是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数,解:（1）当 ，即 时，复数z 是实数,（2）当 ，即 时，复数z 是虚数,例题讲解,（4）0,（5）6+2i,如何定义两个复数相等？,反之,也成立.,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,则,想一想,例2:已知,复数相等的问题,转化,求方程组的解的问题,与,转化（复数问题实数化）,解: 根据两个复数相等的充要条件， 可得方程组,解得:,求实数,探究：任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。,两个实数可以比较大小,实数与虚数不可以比较大小,虚数与虚数不可以比较大小,1.数系的扩充；,回顾反思,
